高校レベルの積分で回答お願いします。

質問

こんにちは。
積分の問題で行き詰ってしまったため質問させていただきました。
問題集であったのですが、添付した画像に書いてあるものがありました。
u = x+√(x^2+1)と置換すると書いてあったのですが、あとは結果だけしか書いてなくて、どのようにしてそこまでたどり着いたのかが分かりませんでした。
画像のように計算していったものの行き詰ってしまい、どうしようもなくなっています。

よろしければ、答えにたどり着くまでの計算を教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

owata-www · ベストアンサー

まあ、これは気づいてしまえば一瞬で解けますが

∫√(x^2+1)dx=1/2∫2√(x^2+1)dx
=1/2{∫√(x^2+1)dx + ∫(x^2+1)/√(x^2+1)dx}
=1/2[{∫√(x^2+1)dx + ∫x^2/√(x^2+1)dx}+∫1/√(x^2+1)dx]

ここで、
x√(x^2+1)＝√(x^2+1)+x^2/√(x^2+1)
であり、画像より
∫1/√(x^2+1)dx＝∫1/udu＝ln|u|+C
になることを使えば後は代入するだけ

ただ、正直こんなうまい方法は知らなきゃ思いつかないので大抵はx=tanθとおいて置換積分する

お礼

たしかに知らなければ思いつきませんね。これを思いついた人はすごいと思います。丁寧な説明ありがとうございました！

回答No.4

surimuji

こんばんは。

ぼくはこの問題は解いたことがないので以下に参考URLを載せておきます。

http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai3/kadai156a.htm

ちなみに、この積分は「放物線の弧長」と呼ばれるものです。放物線の弧長、放物線の長さと検索するといろいろと関連問題が出てきます。

参考URL：

http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/kadai3/kadai156a.htm

お礼

リンクありがとうございます。なかなか興味深いページだったのでお気に入りに入れてしまいました（笑）。回答ありがとうございました！

回答No.3

info22

なぜ唐突に変な置換をしようとするのですか？
x=tan(t)という置換をして見てください。
すると
∫cos(t)/(cos(t))^2 dt=∫cos(t)/((1+sin(t))(1-sin(t)))dt
=(1/2)∫(sin(t))'{1/(1-sin(t))+1/(1+sin(t))}dt
=(1/2)[-log{1-sin(t)}+log{1+sin(t)}]+C
=(1/2)log[{1+sin(t)}/{1-sin(t)}]+C
=(1/2)log[{1+sin(t)}^2/{cos(t)}^2]+C
=(1/2)log[{1+sin(t)}^2*{1+(tan(t))^2}]+C
後は
sin(t)をxで表し,tan(t)=xを代入して元のxに戻すだけ。

後は自分でどうぞ！

お礼

別解として紹介されてたので気になってしまったもので。これからは普通にtanθの積分で処理したいと思います。回答ありがとうございました！

回答No.1

sanori

こんばんは。

最後の式
１／ｕ・ｄｕ　＝　１／√（ｘ^2＋１）ｄｘ
より
ｄｘ　＝　１／ｕ・√（ｘ^2＋１）・ｄｕ

よって、
∫√（ｘ^2　＋　１）ｄｘ　＝　∫√（ｘ^2　＋　１）・１／ｕ・√（ｘ^2＋１）・ｄｕ
　＝　∫（ｘ^2　＋　１）・１／ｕ・ｄｕ

ここで、
---------------
ｕ　＝　ｘ　＋　√（ｘ^2　＋１）
だったので、
（ｕ－ｘ）^2　＝　ｘ^2　＋　１
ｕ^2　＋　ｘ^2　－　２ｕｘ　＝　ｘ^2　＋　１
ｕ^2　－　２ｕｘ　＝　１
ｘ　＝　（ｕ^2　－　１）／（２ｕ）

よって、
ｘ^2　＝　（ｕ^4　－　２ｕ^2　＋　１）／（２ｕ）
　＝　ｕ^3／２　－　ｕ　＋　１／（２ｕ）
---------------

よって、
与式　＝　∫（ｘ^2　＋　１）・１／ｕ・ｄｕ
　＝　∫ｕ^2／２　－　１　＋　１／（２ｕ^2）　ｄｕ
　＝　１／２・∫ｕ^2ｄｕ　－　∫１ｄｕ　＋　∫ｄｕ／（２ｕ^2）

どっか間違えているかもしれないので、検算してください。

お礼

置換の式をxについてとく方法には全く気づきませんでした・・・。
納得できました。ありがとうございました！