分数の積分について

質問

微分積分の入門本でどうしてもわからない問題があったので質問させていただきます。
\[ \int \frac{2x}{x^4 + x^2 + 1} dx \]
を計算しろという問題ですが、置換積分法を使うと書いてありますが解き方がさっぱりわかりません。
答えは
\[ \frac2{\sqrt3} \tan^{-1} \frac{2x^2 + 1}{\sqrt3} \]
になるそうです。何故 $\tan^{-1}$ が出てくるのかすら分かりません。何方かご教授願います。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> その後、zに関しての積分にする最に\frac{\sqrt3}2を掛けているのが分かりません。

∫f(y)dy = ∫f(g(z))g'(z)dz
ですよ。この例では
f(y)=(4/3)/(((2y+1)/√3)^2+1)
z=(2y+1)/√3からy=g(z)=(√3/2)z-1/2
だから
g'(z)=√3/2

お礼

なるほど、ここでbの式になってそうなるのですね
よくわかりました。ありがとうございました。

補足

お礼> bじゃなくてzでした。ごめんなさい

回答No.2

f272

方法1:
y=x^2とおくと、2x/(x^4+x^2+1)=y'/(y^2+y+1)ですが
与式=∫(2x/(x^4+x^2+1))dx=∫(y'/(y^2+y+1))dx=∫(1/(y^2+y+1))dy
となることは分かりますか？
その後は∫(1/(y^2+1))dy=tan^(-1)(y)の形になるように変形します。
与式=∫(1/(y^2+y+1))dy=∫(1/((y+1/2)^2+3/4))dy=∫((4/3)/(((2y+1)/√3)^2+1))dyだから(2y+1)/√3=zとおいて
与式=∫((4/3)/(z^2+1))(√3/2)dz=(2/√3)∫(1/(z^2+1))dz=(2/√3)tan^(-1)(z)

方法2:
x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1) だから、
2x/(x^4+x^2+1) = A/(x^2-x+1) - B/(x^2+x+1)
ただしA、Bはxの1次式とおいて、この式が恒等式であることからA、Bを決定します。
その後は方法1と似たような変形をすればよい。

お礼

すみません補足で間違いがありました。
>その後、zに関しての積分にする最に\frac{2y+1}{\sqrt3}を掛けているのが分かりません。
正しくは
その後、zに関しての積分にする最に\frac{\sqrt3}2を掛けているのが分かりません。
です。
解答ありがとうございました、分かりやすかったです。

補足

方法1に関しては、途中で積分している変数が変わるのですね。その後、zに関しての積分にする最に\frac{2y+1}{\sqrt3}を掛けているのが分かりません。置換積分だと、zのyに関する微分で\frac2{\sqrt3}を掛けることにはならないのでしょうか。恐らくあとそこだけが分かりません。

回答No.1

Tacosan

方法1: 分母が複2次で分子が 2x = d(x^2)/dx なので, y = x^2 と置けば 1/(y^2+y+1) の積分になる.
方法2: 部分分数に分解する. 2x/(x^4+x^2+1) = 1/(x^2-x+1) - 1/(x^2+x+1) から右辺を積分する.

補足

すみません、それでも理解出来ませんでした。
方法1で、y=x^2とおくと、y'/(y^2+y+1)となるのではと思うのですが、その先がわかりません。
方法2では、確かに部分分数分解でその式になるのは分かりましたが、どのような手順でそのような式が導きだされたのか、またそこから先、どのように積分するのかがわかりません。
何もわからなくてすみません。。