積分について聞きたいことがあります。

質問

∫√(2x-1) dx　という問題なんですが、僕がやると二つ答えが出てしまいます。どこが間違ってるのか、教えてください。

ひとつめは、
∫√(2x-1) dx = 2*2/3*(2x-1)^3/2 + c
= 4/3*(2x-1)^3/2 + c
となり、
ふたつめは、
∫√(2x-1) dx
u = 2x-1　とおいて、
du = 2*dx
dx = du/2
∫√(2x-1) dx = ∫1/2*√u du
= 1/3*u^3/2 + c
= 1/3*(2x-1)^3/2 + c
となります。
ふたつめは置換積分でやりました。
どっちが正しいのか、というのと、なぜもう一方のやり方でやってはいけないのか、という理由を教えてください。

回答No.1

debut

前の方がちょっとした勘違いかと・・
　(2x-1)^(3/2)を微分すれば　２*(3/2)*(2x-1)^(1/2)となる
　ので、右辺の最初の２はかけるのではなく割らないと
　ならないです。
∫√(2x-1) dx = (1/2)*(2/3)*(2x-1)^3/2 + c　です。