定積分の置換積分について

質問

定積分の置換積分について

分からないところがあるのでよろしくお願いします。

下の画像の定積分の問題なのですが、置換積分のところです。

ここでぼくは、　x = 2sinΘ　とおいて考えたのですが、これに置換積分の公式を使って解こうとすると、
　x = √3　のときの Θ の値は π / 3 か 2π / 3 のどちらを取ればいいのか分かりません・・。

この　Θ　の値を決定するための条件のようなものが他にあるのでしょうか？
それとも、 x = 2sinΘ　と置いて置換しようとするのが間違っているのでしょうか・・？

できれば、正答とその過程も合わせて教えてほしいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

それはｘ＝－１に対応するθの値、つまり積分の出発点を何にするかによって決まります。これを
-π/2 とするならそこから左の方に積分をして行くと最初にｘ＝ √3にぶつかるのが π/3 です。だからこれを選ぶのです。もし出発点を3π/2とするなら右へ動くと 2π / 3にぶつかりますからこれを選びます。ただし積分の方向が逆さまですから、解に－をつけなければならないですね。左へ動けば８π/3を選ぶことになりますね。この場合は解の符号はそのままです。

お礼

なるほど・・こういう場合は先にぶつかるほうを選択するのですか！
わかりやすく教えていただいてありがとうございました！