積分の計算について

質問

次の計算についての質問ですが・・・
何気なく計算してて、わからなくなったので、わかる方どうか、お力添えを・・・

　∫（1－ｙ)(a-b)dy

の式で,中を積分したとき

=1/2(1-y)^2(a-b)

と計算するやりかたを教えてください。
あと、先に中を計算してから、積分するやり方の問題点を教えてください。
やさしく教えていただけたら幸いです。

回答No.3

pu-san77 · ベストアンサー

> ∬D　(1+x+y)dxdy , D={a≦x≦b,c≦y≦d}
を解くのであれば多少面倒でも素直にといたほうが良いと思います。
書き方が間違ってるかもしれませんが察してください。
dxで積分
∫[a,b](1+x+y)dx
=[1/2x^2 + (1+y)x][a,b]
=1/2(b^2-a^2) + (1+y)(b-a)
=1/2(b-a)(2+b+a) + (b-a)y
dyで積分
∫[c,d](1/2(b-a)(2+b+a) + (b-a)y)dy
=[ 1/2(b-a)y^2 + 1/2(b-a)(2+b+a)y][c,d]
=1/2(b-a)(d^2-c^2) + 1/2(b-a)(2+b+a)(d-c)
=1/2(b-a)(d-c)(d+c+2+b+a)

お礼

解答ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.4

info22

#2です。
A#1の補足質問について
>∬D　(1+x+y)dxdy , D={a≦x≦b,c≦y≦d}
>という問題があって、答えが
>1/2(b-a)(d-c)(a+b+c+d+2)
>と書いてあったのですが、どうしても答えがあわなくて・・・

答は合っています。#3さんのA#3の計算の通りです。
答が合わないのはあなたの計算が間違っているからでしょう。
残念ながらあなたの解答が書いてないため、どこで計算間違いされているかは分かりかねます。

参考(A#3とは別のやり方)
>> ∬D　(1+x+y)dxdy , D={a≦x≦b,c≦y≦d}
=∫[a,b]dx∫[c,d](1+x+y)dy
=∫[a,b]dx[(1/2)(1+x+y)^2][c,d]
=(1/2)∫[a,b]{(x+1+d)^2-(x+1+c)^2}dx
=(1/2)∫[a,b]{(x+1+d)-(x+1+c)}(x+1+d+x+1+c)dx
=(1/2)∫[a,b] (d-c)(2x+2+c+d)dx
=(1/2)(d-c)∫[a,b] (2x+2+c+d)dx
=(d-c)[∫[a,b] {x+1+(c+d)/2}dx
=(d-c)[(1/2){x+1+(c+d)/2}^2][a,b]
=(d-c)(1/2)[{b+1+(c+d)/2}^2-{a+1+(c+d)/2}^2]
=(1/2)(d-c)[{b+1+(c+d)/2}-{a+1+(c+d)/2}][{b+1+(c+d)/2}+{a+1+(c+d)/2}]
=(1/2)(d-c)(b-a)(a+b+2+c+d)
ちゃんと正しい解答に等しくなりますね。

お礼

そうですね。
ぼくの計算間違いでした。お恥ずかしい。

=∫[a,b]dx[(1/2)(1+x+y)^2][c,d]
=(1/2)∫[a,b]{(x+1+d)^2-(x+1+c)^2}dx

のところを、=∫[a,b](1/2)(1+x+d-c)^2dx
としてしまったのが、そもそもの間違えでした。

回答No.2

info22

> =1/2(1-y)^2(a-b)
間違いです。

∫(1-y)(a-b)dy
=(b-a)∫(y-1)dy
=(b-a)(1/2)(y-1)^2 +C　…(A)

∫(1-y)(a-b)dy
=(b-a)∫(y-1)dy
=(b-a){(1/2)y^2-y} +C'　…(B)

(B)を変形すると
=(1/2)(b-a)(y^2-2y) +C'
=(1/2)(b-a)(y-1)^2 -(1/2)(b-a) +C'

(A)と比較すると
C = C'-(1/2)(b-a)
となります。

不定積分には積分定数がありますが、積分の仕方によって積分（原始関数）の求め方によって定数分の差がありえることを示しています。
この差は、積分のやり方で現れる問題ですが、定積分ではこの差は差し引きされて消滅します。
積分のやり方は好き好きですから、（A)と(B)のような積分結果に定数分の差が現れてもなんら問題ではありません。

補足

解答ありがとうございます。

あのよろしかったら、以下の問題にも解答お願いします。

回答No.1

owata-www

∫（1－ｙ)(a-b)dy
＝(a-b)*∫（１－ｙ）dy　→(a-b)は変数なので外に出していい
＝(a-b)*（ｙ－1/2*y^2）＋Ｃ（Ｃは積分定数）　→（ｙ－1/2*y^2）を微分すると（１－ｙ）になるため

ってことで、解と違うんですが…

補足

解答ありがとうございます

僕もそうだと思うんですが、こと詳しく説明すると、

∬D　(1+x+y)dxdy , D={a≦x≦b,c≦y≦d}

という問題があって、答えが

1/2(b-a)(d-c)(a+b+c+d+2)

と書いてあったのですが、どうしても答えがあわなくて・・・
解答をしてくれた人が、最初の質問のような解答をしていたものですから、戸惑っていて・・・

よかったら、この問題も解いてもらえたらうれしいかぎりです。