重積分

質問

つぎの問題についてです

I=∫dx[0,1]∫ycos(xy)dy[0,π/2]
で、xから先に積分する方法とyから先に積分する方法の２通りで計算して、答えが一致することを確認せよ

という問題なのですが、yから先に積分すると途中で詰まってしまいます。
どうすればよいかご教示ください。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足質問の回答

>=∫[0,1]{(π/(2x)) sin(πx/2)+(1/x^2)(cos(πx/2)-1)}dx
ここまでは合っています。

=(π/2)}∫[0,1](1/x)sin(πx/2)dx
+∫[0,1](1/x^2){cos(πx/2)-1}dx
=(π/2)}∫[0,1](1/x)sin(πx/2)dx
-[(1/x){cos(πx/2)-1}][0,1]+∫[0,1](1/x){-(π/2)sin(πx/2)}dx
=-[(1/x){cos(πx/2)-1}][0,1]
=1+lim[x→0]{cos(πx/2)-1}/x
=1+lim[x→0](π/2)sin(πx/2)/1 (ロピタルの定理適用)
=1

お礼

ありがとうございます！！
最後まで丁寧に教えて下さり、大変助かりました。

回答No.1

info22

>yから先に積分すると途中で詰まってしまいます。
あなたがやった計算を補足に詳しく書いて下さい。
質問を投稿する場合は、質問者のやった計算を詳しく書かないと、どこが間違いなのか、どこまでが正しく理解できていて、どこからおかしくなったかが分かりますので、回答者もアドバイスしやすいですね。

このサイトのマナーにも
「基本的なマナーとして、ご自身である程度問題解決に取り組まれた上での疑問点や問題点、お困りの点を明確にしてご投稿いただきたい」
と書かれています。

>どうすればよいかご教示ください。
とにかくまず、あなたのやった計算過程を詳しく補足に書いてください。

ヒント)
どちらの積分の仕方でも積分値は1になります。

先にxで積分する方が簡単です。こちらから先にやった方がいいかも知れないね。

先にyで積分する方はうまく処理をして難しい積分（初等関数では積分できない正弦積分関数）が現れますが、うまく積分を分割処理すれば打ち消しあって積分ができて1に辿り着けますね。

補足

大変失礼いたしました
ご指摘ありがとうございます

xからの積分は確かに1になりました
yからの積分の計算方法を補足しておきます

まずycos(xy)を部分積分しました

∫dx[0,1]∫ycos(xy)dy[0,π/2]
=∫dx[0,1]{[y/x sin(xy)][0,π/2]-∫1/x sin(xy)dy[0,π/2]}
=∫dx[0,1]{π/(2x) sin(πx/2)+1/x^2[cos(xy)][o,π/2]
=∫dx[0,1]{π/(2x) sin(πx/2)+1/x^2(cos(πx/2)-1)

しかし、ここで詰まってしまいました
ここまでは合ってますでしょうか？
もしよければここからどのように分割していくのかなど、教えていただければ大変うれしいです。