大学の微積分の問題なのですが・・・

質問

微積分の問題なのですが
(1) y + x*dy/dx = x^2
(2) y'' - 3y' + 2y = 2x - 1
(3) x^2 + 2xy + (x^2 - y^2)*y' = 0
(4) xy*(y')^2 - (x^2 - y^2 - 1)*y' - xy = 0 (x^2 = X , y^2 = Y とおく)

この4問がどうしてもわかりません

(1)は y*dx + x*dy = x^2*dx から進めません
(2)は p=y'とおくと、p' - 3p + 2y = 2x - 1　までです
(3)は 全然わかりません
(4)は xy*p^2 - (X-Y-1)*p - xy = 0までできたのですが、因数分解できず進めません

本当に困っています
わかる方いましたら回答をお願いします

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

(1) 教科書の１階線形微分方程式のページを読む

(2) 教科書の定数係数線形微分方程式＋未定係数法（or定数変化法）のページを読む。

(3) 教科書の完全微分形微分方程式のページを読む

(4) やってないけど、もしこの微分方程式が解けるとするなら、多分ヒントどおりに置き換えると、
Y = f(X, dY/dX)　… (1)
と書けるようになるはずです。（こうならなかったら、ヒントがどこかおかしい）
この両辺をXで微分すると、P=dY/dX に関する微分方程式になるはずです。で、この微分方程式が解けるんだと思います。（変数分離、同次形、リカッチなどの形になる）
そうしたら、その P=dY/dX を(1)に代入すればよい。

補足

(1)を解くと y = xlog|x| + c となったのですがあっていますか？

回答No.2

PepsiCat

(1)の微分方程式は1階線形微分方程式の形だと思います．
まず(右辺)=0の場合を解きます．(右辺)=0とおくと
xy'+y=0
で，これを変形すると
y'/y=-1/x
となり，変数分離形なので積分して
y=C/x (Cは積分定数)
となります．
この積分定数Cをxの関数とみなしてもとの微分方程式に代入します．
(定数変化法というそうです)
するとy'=(C'x-C)/x^2なので
C'=x^2
が得られます．積分して
C=x^3/3+A (Aは積分定数)
よって解は
y=x^2/3+A/x
となります．