数学 aの範囲

質問

x^4+(a-5)x^2+a+3=0

この式の４つの解がすべて実数であるようにaの範囲を求めよ

という問題を教えてください。

解答は-3≦a≦1なんですけど答えが合いません。

a＜1,a＞13
になってしまいます。

お願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

このような方程式を複2次方程式という。

x^2＝t （t≧0）とすると、t＾2-（5-a）*t＋a＋3＝0が　t≧0を満たす2つの解を持つと良い。
従って、判別式≧0、2解の和＝5-a≧0、2解の積＝a＋3≧0.
あとは、これら3つの不等式を同時に満たすaの値の範囲を求めると良い。
答は、確かに、-3≦a≦1になる。

補足

解答ありがとうございます。

答えは合いましたが,なぜ２解の積と和が正になるのかがわかりません。

回答No.5

owata-www

＞なぜ２解の積と和が正になるのかがわかりません。

二つの答えが正になるからです。
二つの答えが正、負なら、積は負に
二つの答えが負なら、和は負になるためです。

回答No.4

mister_moonlight

＞なぜ２解の積と和が正になるのかがわかりません。

方程式の基本が理解できてないようだ。

この問題に関係なく、t＾2-（5-a）*t＋a＋3＝0が　t≧0を満たす2つの実数解を持つ条件を求めよ、という問題ならどう解く？
これが分らないようでは、教科書を復習しなさい。

回答No.2

Quattro99

=がついているのは、「4つの解」というのは重解の場合もダブって数えるということなのだと思います（重解でもかまわない）。

x^2についての2次式と見て、それが実数解を持つように判別式で解いたのだと思いますが、x^2が負だとxは虚数解を持つことになってしまい4つとも実数解ではなくなってしまうので、f(t)=t^2+(a-5)t+a+3としたときに軸が0または正、f(0)が0または正という条件が必要ということだと思います。

お礼

了解しました。
ありがとうございます。
アドバイスを参考に頑張ってみます。

回答No.1

owata-www

４つの解がすべて実数⇔X^2が２つとも正

あとは、判別式、0≦-(a-5)/2、0≦a+3（X=0の時）を考えれば解けます。

補足

素早い解答ありがとうございます。

判別式が出すまでの過程を教えてください。