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AB=BAならA,Bとも同じユニタリ行列で対角化可能を示せ

Jyaikosanの回答

  • Jyaikosan
  • ベストアンサー率50% (10/20)
回答No.2

Aの固有ベクトルをx 固有値をλ とします。 Ax=λx 両辺にBを掛けます。 BAx=λBx AB=BA なので ABx=λBx この式から、ベクトルBx はAの固有値λの固有ベクトルであることがわかります。 Bx と x は平行なので Bx=αx と書けます。 この式はAの固有ベクトルx がBの固有ベクトルでもあり、αが固有値であることを示しています。 まとめると、AB=BA のときAとBは共通の固有ベクトルを持ちます(固有値は一般に異なります)。 この固有ベクトルを並べて作った同じユニタリ行列でAとBは対角化できます。

kyokoyoshi
質問者

お礼

ご詳細なご説明大変ありがとうございます。 お蔭様で納得でした。m(_ _)m

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では、証明の概略を説明しましょう。 いま考えているベクトル空間をＶと…
P^-1AP,　Q^-1BQ　とおいてP=Qを示そうとしても、無理です…
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