郡数列がまったくわかりません

質問

はじめまして
郡数列がわからないので質問させていただきます。

<問題>

初項1、公差3の等差数列を次のようにわける

|1|4,7|10,13,16|……

(1)第n群の最初の数は?
(2)第n群に含まれる数の和は?
(3)148は第何群の何番目の数?

ところで実はさっきあるサイトで
『ほとんどの群数列は、群の最初の文字の項に注目するとそれらは階差数列になっている』
と書いていました
なので階差数列を率いてのやり方を覚えたいと思っていますので、ご回答の際はどうか階差数列を使っての回答をお願いします。

よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland

＃１です。お礼をありがとうございます。

＞しかし、Sn＝n/2 {An+An+3(n-1)}の、
＞{An+An+3(n-1)}がどうしてそうなるのかわかりません・・・

　これは等差数列の和の公式を使いました。
　下記サイトにわかりやすく解説されていましたので、参考にしてみて下さい。

http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/tousasum/tousasum.htm　（まとめ２の部分です。）

お礼

とてもわかりやすいサイト、どうもありがとうございました。
何度も質問させていただきすみませんでした
ありがとうございました！

回答No.2

hatake333

>ところで実はさっきあるサイトで
>『ほとんどの群数列は、群の最初の文字の項に注目するとそれらは
>階差数列になっている』
>と書いていました

　これは事実かも知れませんが，これをそのまま解き方として使うのは
典型的な誤答例です．
解の予想としては十分です．
しかし，それが「第n群の最初の数」となっている保証はどこにもありません．
たとえば，第1群から，第5群までの最初の数を並べた数列
　　1,4,10,19,31
から，階差をとって，一般項を求めると，
　　An = (3/2)n(n-1) + 1
となりますが，これが，第6群以降の最初の数も表しているという
保証はどこにもありませんよね？
単なる解の予想でしかありません．
正解にするには，この式が第6群以降も最初の数を表していることを
証明しなければならないのです．

ならば，どうやってそれを証明するかですが，
そもそも問題文が不足しています．

>初項1、公差3の等差数列を次のようにわける
>|1|4,7|10,13,16|……

これだけでは，第n群にいくつの項が入っているか分かりません．
第n群にnコの項が入っているとも考えられますが，
この表現では，次のように，　　
　　|1|4,7|10,13,16|19,22,25,28,31|34,37,40,43,46,49,52,55|…
1,2,3,5,8,…と初項1，第2項2，のフィボナッチ数列で区切ることもできます．
ですから，問題文は次のように書く必要があります．
問題
初項1、公差3の等差数列を次のように，第n群にn個の項が入るように分ける
|1|4,7|10,13,16|……

これで，ようやく解けます．

■階差数列を用いた，群数列の最初の数の求め方
（解）
第n群の最初の数をAnと表すことにする．
第1群から，第5群までの最初の数を並べた数列
　　1,4,10,19,31
から，階差をとって，一般項を予想すると，
　　An = (3/2)n(n-1) + 1
次に，これが第6群以降も最初の数を表していることを証明しよう．
＜証明＞数学的帰納法を用いる．
(i)n = 1 のとき，
　A1 = 1
より，成立．
(ii)n = k のときの成立を仮定すると，
　Ak = (3/2)k(k-1) + 1
ここで，第k群にはk個の項が入っており，元の数列は公差3の等差数列なので，
A(k+1) は Ak に 3k だけ加えたものに等しい．つまり，
　A(k+1) = Ak + 3k
　　　　 = {((3/2)k(k-1) + 1)} + 3k
　　　　 = (3/2)k{(k-1) + 2} + 1
　　　　 = (3/2)k(k+1) + 1
これは，n = k+1 のときも成立することを示している．
(i)(ii)より，すべての自然数nについて成立する．
よって，第n群の最初の数は，An = (3/2)n(n-1) + 1

さて，もう気付いていただいたかもしれませんが，
はじめから，＜証明＞の部分の思考をすれば，予想と証明の2段階に
分けることなく解くことができます．次のようにします．

（解）
第n群の最初の数をAnと表すことにする．
　A1 = 1
は明らかである．
また，第n群にはn個の項が入っており，元の数列は公差3の等差数列なので，
A(n+1) は An に 3n だけ加えたものに等しい．
よって，
　A(n+1) = An + 3n (n≧1)
したがって，
　A1 = 1
　A(n+1) = An + 3n (n≧1)
を満たすAnを求めればよい．
　A(n+1) - An = 3n は階差数列を表しているから
n≧2 のとき，
　An = A1 + Σ_k=1からk=n-1までの和_{3k}
　　 = 1 + (3/2)n(n-1)
これは，n = 1 のときも満たすので，An = 1 + (3/2)n(n-1)

上記のどちらの方法も「階差数列」を用いた解法ですので，
気に入った方を使ってください．

お礼

とっても詳しくありがとうございます！
数学的帰納法はまだ習っていないので使えませんが、
必ずしも階差数列になるのではなのですね；
大変勉強になりました。
ありがとうございました！

回答No.1

Mr_Holland

(1) 郡の最初の項だけを抜き出しと、
　　１、４、１０、１９、・・・
　となり、この数列の階差は３ｎとなっていることが分かります。
　したがって、第n群の最初の数をAnとしますと、次のようになります。

　　An＝1+Σ[k=1→n-1] 3k　＝1+3/2 n(n-1)

(2) 第n群の最後の数は、最初の数に3(n-1)を足したものになっています。
　また、第n群の項の数はｎ個ですので、第n群に含まれる数の和Snは次のようになります。

　　Sn＝n/2 {An+An+3(n-1)}　＝n/2 (3n^2-1)

(3) An≦148＜A(n+1)　を満たすｎを2次不等式から求めますと、ｎ＝１０が得られ、第10群に含まれることが分かります。
　また　A(10)＝136　ですので、次の式から５番目の数であることが分かります。
　　(148-136)/3+1＝5
　従って、１４８は　第10群の5番目の項であることが分かります。

お礼

大変わかりやすく、とても助かりました！
本当にありがとうございます。

しかし、Sn＝n/2 {An+An+3(n-1)}の、
{An+An+3(n-1)}がどうしてそうなるのかわかりません・・・
よければまたご回答をお願いします。
たびたび申し訳ございません