空間ベクトルの問題

質問

数学Bのベクトルの問題なのですが、苦手でどうすればよいかわかりません。長くなりますが・・「各辺の長さが1の正四面体ABCDで、→AP＝ｌ→ＡＢ+ｍ→ＡＣ＋ｎ→ＡＤで与えられる点Ｐに対し、→ＢＰ、→ＣＰ、→ＤＰの大きさが等しければ、ｌ＝ｍ＝ｎであることを示せ。またこのときの→ＢＰをｌを用いてあらわせ。」「Ａ，B，Ｃ，Dと異なる空間内の点P,Qを、四面体PBCDと四面体QABCがともに正四面体になるようにとるとき、COS∠PBQの値を求めよ」の二問です・・解き方のヒントを教えてください(>_<)

回答No.2

orcus0930 · ベストアンサー

cos∠PBQ=vec(BP)・vec(BQ)/(|BP||BQ|)=vec(BP)・vec(BQ)ですから、
vec(BP),vec(BQ)が表せればいいんですね。

じゃ、vec(BP)だけ求めてみましょうか。
Pは面BCDに関してAと対称な点ですから、
直線APは面BCDの重心Gを通るはずなので,
vec(GP) = -vec(GA) =ですね
vec(BG) = (vec(BC) + vec(BD))/3
以上から
vec(BP)=vec(BA) + 2*vec(AG)
=vec(BA) + 2*(vec(BG) - vec(BA))
=2/3*vec(BC) + 2/3*vec(BD) - vec(BA)
となります。同様なことをして、vec(BQ)も求めることができます。

ヒントはこの辺にしときましょうか。
頑張ってください。

お礼

ご解答ありがとうございました。重心を使うなんて思いつきませんでした。
やっぱり数学は難しいですね・・・これから答え出してみます。

回答No.1

orcus0930

ちょっと見にくいので、ベクトルABをvec(AB)ように表記します。
Pの条件式が
vec(AP) = l*vec(AB) + m*vec(AC) + n*vec(AD)
でいいかな？

vec(BP) = vec(AP) - vec(AB)
vec(CP) = vec(AP) - vec(AC)
vec(DP) = vec(AP) - vec(AD)
と書けることを利用して、|BP|=|CP|=|DP|なので
|BP|^2=|CP|^2=|DP|^2を使って計算していきます。
途中で出てくる内積は正四面体なので角度が分かるので計算できます。

後半の問題はABCDの配置は前半の問題と同じなのかな?
捕捉にお願いします。

お礼

ご解答ありがとうございます。計算してみたらちゃんと答えが出ました。とっても助かりました。

補足

補足します。後半も同じ四面体です。