数２のベクトルの問題で質問なのですが、、、

質問

学校で配られたベクトルのプリントで２問わからない問題があり、教科書などに、解き方がのっていなくて困っています
解き方を教えてください（数学が苦手なので途中式もお願いします）
「１」
△ＡＢＣと点Ｐに対して
　ー→　　－→　　－→　→
２ＡＰ－３ＢＰ＋４ＣＰ＝０が成立するとき、点Ｐの位置をいえ

「２」
３点　Ａ（ｔ、１）　Ｂ（ーｔ、２ｔ）　Ｃ（２、ｔ）
が一直線上にあるようにｔを求めよ

長くなってしまいすみません。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
補足質問について
> (P+B)/2=(A+2C)/3
=Qと置けば
QはACを2:1に内分する点であり
(P+B)/2=Qから
P=(2Q-B)/(2-1)
となりますから
P点は線分QBを1:2に外分する点です。
言い換えればQ点は
BP=2*BQ
です。
PはベクトルBQの延長上のBQ=QPの点とも言えます。

お礼

「１」理解できました！
ありがとうございます

回答No.2

info22

このサイトでは丸投げは禁止事項なので解答ができません。

ヒントだけ

[1]ベクトルの矢印は省略し、A,B,C,Pの位置ベクトルを単にA,B,C,Pと書くことにすると
AP=P-A,BP=P-B,CP=P-Cと置けば
(P+B)/2=(A+2C)/3
という式が出てきます。
左辺はPBの中点、右辺はACを2対1に内分する点です。
これが一致するという事です。

[2]
ベクトルABとベクトルACが重なるという事ですから
この２つのベクトルの方向成分が一致するという式を立てればtが求められます。

補足

回答ありがとうございます。
「１」の解き方はわかったのですが、答えでＰの位置を示せないのですが、、、
PBの中点と右辺はACを2対1に内分する点が等しい
から、どう答えまで導いていいのかよくわかりません。
丸投げに近い形になってしまいすみません(_ _)

回答No.1

nozomilv

こんにちは
[１]について
まず、2AP=2(OP-OA)というようにOを始点に変換してやります。
するとOP＝という形に変換ができると思います。
図がかけないので説明がしずらいですが
変形をするとOP=(2OA-3OB+4OC)/3となります。
これをさらに(2OA-2OB＋OC-OB＋3OC)/3となり
あとは変形をしていって内分点の公式を使うことになります。
説明が分かりにくいと思います。すみません。

[２]について

A、B、Cが一直線上にあるということは
始点が同じで終点がこなればよいので
→　　　　→
AB　＝　ｋACであればよいと言うことになります。

つまり　→　　　　をABベクトルとすると
　　　　→→→　　がACベクトルになればよいと言うことです。
この例ではABの３倍がACベクトルということです。
斜めの線がかけないのでこんな形ですみません。
→　→　→
AB＝OB－OA＝(-t,2t)-(t,1)=(-2t,2t-1）
　　　→
同様にACを求めて
→　 →
AB=ｋACに代入して　t,kの連立方程式となり、tを求めてやればできます。
解答を書いてもよいのですがとりあえずやり方を書きました。
まずはチャレンジしてみてください。
ダメならもう少しヒントを出したいと思います。

補足

「２」はとてもわかりやすかったです。２は解けました！
「１」の支点をそろえるまではわかったのですが、内分点の公式のところからが、よくわからないのですが、、、