数学Bの位置ベクトルなんですけど・・・(急）

質問

△ABCの重心をGとする。
任意の点Pに対し、次の等式が成り立つことを証明せよ。
↓
ベクトルAP＋ベクトルBP＋ベクトルCP＝３ベクトルGP

この問題の例題やってるときに寝てしまってて解き方がわからないんです。

しかも明日授業でたぶんかけられてしまうんです。

どなたか解きかたを解説していただけないでしょうか

回答No.1

noname#56760 · ベストアンサー

位置ベクトルを
Ｐ(ベクトル０)
Ａ(ベクトルａ)
Ｂ(ベクトルｂ)
Ｃ(ベクトルｃ)　と定めると
Ｇ(ベクトル（ａ+b+c)/3)となります。
ベクトルａ+b+c＝3（ａ+b+c)/3
ベクトルPA＝ａ　ＰＢ＝ｂ　ＰＣ＝ｃ　ＰＧ＝（ａ+b+c)/3を代入
ベクトルPA＋ＰＢ＋ＰＣ＝３ＰＧ
⇔-PA-ＰＢ-ＰＣ＝-３ＰＧ
⇔ベクトルAP＋BP＋CP＝３GP

文字の上には→を付けてください
位置ベクトル使わなくてもよさそうですが使ってみました。

回答No.3

Mr_Holland

三角形の重心は、原点をOとすると、
　　OG＝（OA＋OB＋OC)/3　（すべてベクトル)
と表されることはいいですか。
　これが分からないときは、次のサイトを参照してください。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou2/iti_vector3.html

　さて、次に原点が頂点Aと重なっている場合を考えますと、左辺は次のように変形できます。（以下、すべてベクトルとします。）
　　（左辺)
　＝AP+(AP-AB)+(AP-AC)
　＝3AP-(AB+AC)

　一方、右辺は次のように変形できます。
　　(右辺)
　＝3GP
　＝3(AP-AG)
　＝3AP-3AG
　＝3AP-3(AA+AB+AC)/3
　＝3AP-(AB+AC)　（∵AA＝０）
となり、左辺と同じ式に変形でき、
　　（左辺)＝(右辺)
が示されます。

回答No.2

jisin74

回答ではなくヒントですが…

右辺の「３ベクトルGP」を、Gの位置ベクトルを重心の定義に基づいてA,B,Cの位置ベクトルであらわして、書きなおして下さい。
その後、左辺の「ベクトルAP＋ベクトルBP＋ベクトルCP」と見くらべてはどうでしょうか。