微分

質問

次の関数のxに関する微分はどうなるのでしょうか？
・y=(f(x))^(g(x))
・y=(f(x))^(h(x))*(g(x))^(1-h(x))
ナブラは１次元で考えてください。
自分はこのように考えています。
１つめ
f(x)(∇g(x)ln(f(x))+g(x)∇f(x)/f(x))
２つめ
(∇h(x)ln(f(x))+h(x)∇f(x)/f(x))*y
だと考えています。

皆様の賢い頭を貸して下さい。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。

> 2つめの分母になぜg(x)^h(x)がくるのでしょうか？
>y=(f(x))^(h(x))*(g(x))^(1-h(x))
={f(x)^h(x)}*g(x)^{1-h(x)}
=[{f(x)^h(x)}*g(x)]/{g(x)^h(x)}

これを微分すれば、分母にg(x)^h(x)がくるのは当然では無いですか？

y'=<[{f(x)^h(x)}*g(x)]'*{g(x)^h(x)}-[{f(x)^h(x)}*g(x)]*{g(x)^h(x)}'>
/{g(x)^h(x)}^2

{f(x)^h(x)}*g(x)]'
=f(x)^h(x)*{∇h(x)*ln(f(x))+h(x)*∇f(x)/f(x)}*g(x)+f(x)^h(x)*∇g(x)

{g(x)^h(x)}'
=g(x)^h(x)*{∇h(x)*ln(g(x))+∇g(x)*h(x)/g(x)}

これをy'の式に代入して整理すれば
A#2で書いた式が出てきます。
やってみてください。

別解）
y={f(x)^h(x)}*{g(x)^(1-h(x))} (>0,f(x)>0,g(x)>0)
ln(y)=h(x)*ln(f(x))+{1-h(x)}*ln(g(x))
y'/y=∇h(x)*ln(f(x))+h(x)∇f(x)/f(x)-∇h(x)*ln(g(x)+{1-h(x)}∇g(x)/g(x)
y'=y*[∇h(x)*ln(f(x))+h(x)∇f(x)/f(x)-∇h(x)*ln(g(x)+{1-h(x)}∇g(x)/g(x)]
={f(x)^h(x)}*g(x)^(1-h(x))
*[∇h(x)*ln(f(x))+h(x)∇f(x)/f(x)-∇h(x)*ln(g(x)+{1-h(x)}∇g(x)/g(x)]
={f(x)^h(x)}
*[g(x)*∇h(x)*ln(f(x))+g(x)*h(x)∇f(x)/f(x)-∇h(x)*g(x)*ln(g(x)+{1-h(x)}∇g(x)]
/[g(x)^h(x)}
1/f(x)を括り出せばA#2の式になります。

お礼

言われた通りに計算したら、同じ結果になりました！！
ありがとうございます☆

回答No.2

info22

> １つめ
> f(x)(∇g(x)ln(f(x))+g(x)∇f(x)/f(x)) ×

{f(x)^g(x)}*[∇g(x)ln{f(x)}+g(x)∇f(x)/f(x)]

> ２つめ
> (∇h(x)ln(f(x))+h(x)∇f(x)/f(x))*y ×

[f(x)^(h(x)-1)*{f(x)*g(x)*ln(f(x))*∇h(x)+f(x)*∇g(x)+g(x)*h(x)*∇f(x)
-f(x)*g(x)*ln(g(x))*∇h(x)-f(x)*h(x)*∇g(x)}]/{g(x)^h(x)}

補足

早速の計算、ありがとうございます。
1つめは・・すいません、書き間違えてました。
はい、info22さんと同じになりました。確認がとれよかったです。
2つめの分母になぜg(x)^h(x)がくるのでしょうか？
y=(f(x))^(h(x))*(g(x))^(1-h(x))なので、f(x)^h(x)なら納得がいけたのですが・・
ややこしくて、わかりません。よろしければ解説を頂けたら嬉しいです。

回答No.1

Tacosan

多分, 対数微分を確かめ直した方がいいと思う.