偏微分について、

質問

y=f(x)
について、
ｚ＝ｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙとおいた場合
ｚは常に、ｚ＝０となるとおもうのですが
この場合の、
ｇ_ｙ(x,y)＝－１について
これは、
偏微分の定義
ｇ_ｙ(x,y)=lim(h→0){g(x,y+h)-g(x,y)}/h
から
ｙ軸方向に少し動いたときのｚの変化の割合
と解釈してますが、
ｚ＝ｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙのとき
ｚは常に０なのに
どうして傾き－１と出るのでしょうか?

回答No.4

toranekosan222

y=f(x)というのは二次元グラフでの、表示の仕方。独立変数はxだけ。

z=g(x,y)というのは三次元グラフでの表示の仕方です。
おそらくg(x,y)=f(x)-yとしているだけのなのでしょう。このような表示のしかただと独立変数はx,yのみになります。

なので、ｚ＝ｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙとおくという意味が、xだけを独立変数とし、yがxの関数f(x)で表される、という事であれば恒等的にz=0であり、微分の意味はありません。

示しましょう。
独立変数がxだけなので、偏微分はxについてのみしか定義できない。
よってxに関するzの偏微分はその全微分と等しい。
dz/dx=0
よって、0である。

もし、独立変数がx,yならば、zは恒等的に０であるとはいえない。
よって、yによる偏微分が定義可能であり、yに関する
偏微分はー１となる。

回答No.3

kabaokaba

あ"～～やっぱり，偏微分どころか
グラフと関数がごっちゃになってます。。
陰関数定理とか逆関数定理はこれじゃあ分からないですよ．
＃これは陰関数定理から逆関数定理を証明する論法ですな

>y=f(x)
>について、
>ｚ＝ｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙとおいた場合
>ｚは常に、ｚ＝０となるとおもうのですが

写像というか，関数というか，定義域というか
関数のグラフというか・・・そういうのがごっちゃごちゃです．

まず，y=f(x) という表現ですが，
これは関数fのxでの値f(x)がyであるという意味です．
これを転用して，
y=f(x) で関数そのものを表現しているのを
理解してください．
そしてさらに，{ (x,y) | y=f(x) } という集合，
関数のグラフも　y=f(x) で表現してしまうこともあります．

y=f(x)について，z=g(x,y)=f(x)-y としたときですが，
定義域がごっちゃになってます．
このように書いた場合「y=f(x)について」というのは
何を言ってるのか不明だというのも問題ですが，
仮に「y=f(x)を満たす(x,y)に対して」というのであれば
z=g(x,y)=f(x)-y は確かに 0 です．
しかし，単純に z=g(x,y)=f(x)-y とした場合には
gの定義域は R^2 で，xはfの定義域，yは任意，という集合であり
y=f(x)の「グラフ」だけではありません．
xとyには何も関係がありません．
したがって，z=0 が常に成り立つなんてことはありません．

=====
陰関数定理の質問で指摘した
誤解の根本はこのあたりにあるのかもしれません

回答No.2

noname#101087

>y=f(x)について、ｚ＝ｇ（ｘ、ｙ）＝ｆ（ｘ）－ｙとおいた場合ｚは常に、ｚ＝０となるとおもうのですが
>この場合の、ｇ_ｙ(x,y)＝－１....

g_y(x,y)=f_y(x)-1
でしょうから、
f_y(x)=f_x(x)*dx/dy=1
を代入して
g_y(x,y)=0

…となるんじゃないでしょうか?

回答No.1

zk43

y=f(x)について、z=g(x,y)=f(x)-yとおく、という表現がいま一つ
なのですが、
y=f(x)においては、yはxによって決まる変数という意味ですが、
z=g(x,y)=f(x)-yにおいては、独立に動くx,yに対してzが決まる
という意味ではないでしょうか？（x,yの２変数関数）
常に０になるものを考えてもしょうがないかと。
f(x)はyに無関係なので、zをyで偏微分すると、-1になるのでは
ないでしょうか。