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偏微分について、

y=f(x) について、 z=g(x、y)=f(x)-yとおいた場合 zは常に、z=0となるとおもうのですが この場合の、 g_y(x,y)=-1について これは、 偏微分の定義 g_y(x,y)=lim(h→0){g(x,y+h)-g(x,y)}/h から y軸方向に少し動いたときのzの変化の割合 と解釈してますが、 z=g(x、y)=f(x)-yのとき zは常に0なのに どうして傾き-1と出るのでしょうか?

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みんなの回答

  • 回答No.4

y=f(x)というのは二次元グラフでの、表示の仕方。独立変数はxだけ。 z=g(x,y)というのは三次元グラフでの表示の仕方です。 おそらくg(x,y)=f(x)-yとしているだけのなのでしょう。このような表示のしかただと独立変数はx,yのみになります。 なので、z=g(x、y)=f(x)-yとおくという意味が、xだけを独立変数とし、yがxの関数f(x)で表される、という事であれば恒等的にz=0であり、微分の意味はありません。 示しましょう。 独立変数がxだけなので、偏微分はxについてのみしか定義できない。 よってxに関するzの偏微分はその全微分と等しい。 dz/dx=0 よって、0である。 もし、独立変数がx,yならば、zは恒等的に0であるとはいえない。 よって、yによる偏微分が定義可能であり、yに関する 偏微分はー1となる。

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  • 回答No.3

あ"~~やっぱり,偏微分どころか グラフと関数がごっちゃになってます。。 陰関数定理とか逆関数定理はこれじゃあ分からないですよ. #これは陰関数定理から逆関数定理を証明する論法ですな >y=f(x) >について、 >z=g(x、y)=f(x)-yとおいた場合 >zは常に、z=0となるとおもうのですが 写像というか,関数というか,定義域というか 関数のグラフというか・・・そういうのがごっちゃごちゃです. まず,y=f(x) という表現ですが, これは関数fのxでの値f(x)がyであるという意味です. これを転用して, y=f(x) で関数そのものを表現しているのを 理解してください. そしてさらに,{ (x,y) | y=f(x) } という集合, 関数のグラフも y=f(x) で表現してしまうこともあります. y=f(x)について,z=g(x,y)=f(x)-y としたときですが, 定義域がごっちゃになってます. このように書いた場合「y=f(x)について」というのは 何を言ってるのか不明だというのも問題ですが, 仮に「y=f(x)を満たす(x,y)に対して」というのであれば z=g(x,y)=f(x)-y は確かに 0 です. しかし,単純に z=g(x,y)=f(x)-y とした場合には gの定義域は R^2 で,xはfの定義域,yは任意,という集合であり y=f(x)の「グラフ」だけではありません. xとyには何も関係がありません. したがって,z=0 が常に成り立つなんてことはありません. ===== 陰関数定理の質問で指摘した 誤解の根本はこのあたりにあるのかもしれません

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  • 回答No.2
noname#101087
noname#101087

>y=f(x)について、z=g(x、y)=f(x)-yとおいた場合zは常に、z=0となるとおもうのですが >この場合の、g_y(x,y)=-1.... g_y(x,y)=f_y(x)-1 でしょうから、 f_y(x)=f_x(x)*dx/dy=1 を代入して g_y(x,y)=0 …となるんじゃないでしょうか?

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  • 回答No.1
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)

y=f(x)について、z=g(x,y)=f(x)-yとおく、という表現がいま一つ なのですが、 y=f(x)においては、yはxによって決まる変数という意味ですが、 z=g(x,y)=f(x)-yにおいては、独立に動くx,yに対してzが決まる という意味ではないでしょうか?(x,yの2変数関数) 常に0になるものを考えてもしょうがないかと。 f(x)はyに無関係なので、zをyで偏微分すると、-1になるのでは ないでしょうか。

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