集合の個数が同じであることの証明

質問

集合S＝[0,1] T=[0, 1)の個数が同等であることを示せという問題です。
この証明のためにある特定の関数を自分で定義しその関数がS→Tにおいて、全射、全単射であることを示せば良いことまでは分かるのですが、その関数が思い浮かびません。　そこで皆さんの知恵をお貸し願えませんか？　よろしくお願いします。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

連続関数では、
どうしても閉区間[0,1]と半閉区間[0, 1)の、
１対１の対応はつけられないらしので、

　n=1,2,3,・・・に対して、
x=1/n　のとき、f(x)=1/(n+1)

　1　　　→　1/2
　1/2　→　1/3
　・・・
　1/n　→　1/(n+1)

その他の x∈[0,1]に対して、f(x)=x　とすれば、

キレイに、f：[0,1]→[0, 1)の１対１対応になります。

補足

早速の回答ありがとうございます。
何点か質問させてもらっても良いでしょうか？
１．　まず、ｎはなにを表しているのでしょう？？
２．　次にf(x)=x　はどこから出てきたのでしょうか？
３．　全射の証明はどうすればいいのでしょう？　つまり全ての
Y∈[0,1）に対してy＝f（x）となるようなxが存在するという証明です。

お返事お待ちしています。

回答No.6

nettiw

ANo.2 です。

　基本的な考え方は、ANo.3様と同じです。
ANo.3様には、申し分けなく思います。

　ANo.2の回答は、かなり前にどこかで見て、
印象が強く、覚えていたのを自分なりに書きました。
この例の作り方は、かなり困難と書いてありました。

１．（何を表しているのか。）と問われても、返答はできません。
　　唯、こうゆう風に関数を定めると、上手く　区間の１　を、
　　除く事が出来るというだけです。

２．（その定義からどうやって導き出したか）については、
　　カントールに、”対角線論法”を（どうやって思いついたか）
　　と尋ねても、（答えられないだろうと）、としか返事で来ません。

彼は、”我見るも信ぜず”と、デデキントへの書簡に・・・。

３．今は、あまり使われない（１対１対応）を回答に使用したのは、
　　（１対１対応）は、
　　[０、１]→[０、１）　であり、
　　[０、１]←[０、１）　でることを明瞭にするためです。
　　もともとの問題が、（集合ＳとＴの濃度が共にアレフである、
　　写像の例を示せ）ですから、（１対１対応）であれば、
　　逆写像を考慮しなくても良いので、
　　単射/全射は顔を出さずに済むと・・・。

　とは言っても、これ以上の知恵は皆無ですので、
納得されない場合は、申し訳ありませんが、
その旨を、この投稿の補足欄に明記されれば、
多数の知恵者の方々が、それを読んで、
貴殿の求める事柄を書き込んで下さると思います。

　御健闘を！

お礼

一時、時間はかかりましたが、ようやく理解しました。

何かわけの分からない事を聞いてしまいましたね。
ご迷惑を掛けたようでしたら、誤ります。

でも丁寧に答えていただいて、大変分かりやすかったです、ありがとうございました。

回答No.5

kabaokaba

んーー，テキストをきちんと読み直すしかないね
立派な証明がもうでてるのに．
＃理解できれば自分がいかに
＃「失礼な愚問」を出してたのかが理解できる
＃これが「ゆとり世代」か！？

きっと「連続関数では構築できない」という
No.2さんのコメントの重要性もわかってないんだろうなあ

さてさて・・・とりあえず
ぐだぐだと書いてみるか．

まず，[0,1]を二つに分割する．
最初の種類は，
1/1(=1),1/2,1/3,1/4,...のように「自然数の逆数」からなる集合
次の種類は「それ以外の数」の集合
これらは共通部分を持たないから，
それぞれの要素について写像を定めればよい
＃もしかすると，[0,1]を二種類に分けるという最初の段階が
＃理解できてないのかもしれない．

自然数の逆数はnを自然数とすれば1/nと表すことができる，
そこで
f(1/n)=1/(n+1)
と定める
次に，それ以外のxについてはf(x)=xと表す．
＃そもそも，f(1/n)=1/(n+1)からf(x)=xを「導いた」なんて
＃解釈できるのも・・読解力のなさの証明ですな

この写像fが全単射であるのは。。。明らか。
これが明らかに見えないのは。。。かなりまずいというか
勉強足りなすぎでしょう．
少なくとも人を勉強不足といえるレベルではないね

全射であること．
[0,1)の任意の要素xをとる．
もし，xが自然数nを用いて，x=1/nと表せるならば
nは2以上（n=1だったらx=1/1=1となり[0,1)の要素ではない）なので
1/(n-1)は[0,1]の要素であり，
fの定義より
f(1/(n-1))=1/n
また，x=1/nと表せないならばfの定義により
f(x)=xである．
以上より，fは全射．

単射であること
f(x)=f(y)とする．
f(x)=f(y)=1/n (nは2以上の自然数）と表せるのであれば
x=y=1/(n-1)である．
そうではないならば
x=f(x)=f(y)=yである．
したがって，単射である．

ついでにいうと，この証明の本質は
No.1さんの「ずらす」ということに他ならないわけで
それを「趣旨がずれている」としか認識できない方が
勉強不足，考え不足なのです．
この「ずらす」というのは常套手段だからねえ．

補足

[0,1]区間を２つに分けるんですね、なるほど！！
ようやく意味が分かりました。

一番最初の部分がまったく分かっていなかったのでわけの分からない状況になってましたありがとうございます。

日本語での証明はあまり読みなれてないので変な事を聞いてしまってすみません。

ちなみに「ずらす」というのはどういう事なんでしょう？
教えていただけるとありがたいです。

回答No.4

jmh

> ので、jmhさんの回答は質問の趣旨とは違うようです。
>
同じだと思うけど…。
（ＳもＴも可算無限部分を含んでるんだから）
つまり、できないということ？

補足

可算無限集合の証明のことを言われているのでしょうか？
質問提示の部分にも書きましたが、可算無限集合の証明のひとつである、関数を定義し証明するやり方を聞いています。
また、この場合可算無限集合である事を証明する（つまりSもしくはTが自然数Nと個数が同等であることを証明）のではなくSとTがの個数が同等であることの証明です、ですからやはりjmhさんの言われていることとは少し違うと思います。
もしよければ貴方がおっしゃられている証明を一度書いてみてください。

回答No.3

whoduit

他の回答者さんの補足に口出してすみませんが、
１．ｎは自然数です。
２．全てをf(x)=xとしたいけれど其れでは[0,1]→[0, 1]にしかならないので巧妙に仕組んのだから（どこから）という発想は逆に奇妙です。
３．(全射かつ単射)＝(全単射)＝(１対１対応)です。
>>Y∈[0,1）に対して・・・　は失礼ながら愚問です。

補足

回答ありがとうございます。
１．自然数なのは見れば分かりますが、何を表しているのかを聞いています。
２．どこから出てきたかというのは、今f(x) = 1/(1+n)、x＝1/n という定義がしてありますが、その定義からどうやって導き出したかを聞いているのです。
３．全射かつ単射＝全単射という解釈は当然ですが。　全射と単射の証明はまったく別物で、回答していただいたものは単射の証明は不要ですが全射の証明は必要になってきます。
関数の中には全射であり、単射ではない物、またその逆の単射であり全射ではない物も存在します。　
なので、愚問と考えることの方がおかしいです。　人の質問を愚問であると断定するならばもう少し勉強と、質問をよく読む事してください。

もし、ほか他の方へ補足に返事をするならば、上記しましたがもう少し質問内容を良く読んで、考えてから回答してください。

回答No.1

jmh

Ｕ＝｛１，２，３，４，…｝とＶ＝｛２，３，４，５，…｝ならできる？

補足

書き込みありがとうございます。
質問にも書きましたが
集合Sは0以上1以下
集合Tは0以上1より小さい（１は含まない）
という条件があります。

ので、jmhさんの回答は質問の趣旨とは違うようです。