関数（全域的関数）の個数について

質問

集合Ｔ＝{1,2,3,…,n}について
ＴからＴへの全域的関数で、相異なものの個数を求めたいのですが、この場合 関数をfとおいて

・fにＴの全ての要素を当てはめてＴのどれかの要素に対応させたもの

を一つとカウントすればよいのでしょうか。
この場合だと、Ｔの要素一つにn個の対応付けがあるので、関数の個数は n~n (nのn乗) となると思いますが、正しいでしょうか。

また、この場合１対１対応にはなっていないのですが、問題はありませんか。

文章にわかりにくい点などがあるかもしれませんが、よろしければ御回答お願いします。

回答No.1

metzner · ベストアンサー

正解と思います。ちなみに集合Aから集合Bへの関数(写像)の集合をB^Aと書きます。BをA回直積している
イメージです。
これはAからBへの写像にほかなりません。
3次元実空間 R^3は3点からなる集合から実数Rへの写像の全体と同じですよね。
集合Aの部分集合の全体は2^Aと書きます。なぜなら
Aの部分集合は「Aから２点集合への写像」と同一視
できるからです。
A,Bが有限集合の場合は#(B^A)=#B^#Aです。質問者さんの場合ですと #T＝nなので#(T^T)=n^nです。(#Aは集合Aの個数を表すとしました)

お礼

御回答ありがとうございます。
わかりやすく説明していただき、本当に助かりました。
集合の書き方のことも、イメージが掴め、理解することができました！
個数もこのように計算できるのですね。　n^nが正解していて安心しました。