I =∫e^(-x^2)dxを求めるためには？

質問

数学で、

Ｉ＝∫e^(-x^2)dx (積分範囲　0→∞）

をI^2を考えることで求めよという問題が出ました。
この問題についての解答方法を教えてください。
広義積分の範囲で教科書を探したのですがよくわかりませんでした。
さらに、それを利用して

Ｉ＝∫x^(1/2)*e^(-x)dx (積分範囲　0→∞）

を求めるという問題が出ました。これについてもよろしくお願いします。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

丸投げは規約違反なのですが、
「広義積分の範囲で教科書を探したのですがよくわかりませんでした。」
とのことですので、ガイドだけ示します。

これは、「ガウス積分」って言います。

「極限からの導出」の項を参照。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E7%A9%8D%E5%88%86

類似の過去質問。（私も回答）
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4121095.html

お礼

確かに丸投げはよくないですね。ごめんなさい。
半日ぐらい考えたんですけど、どうにも取っ掛かりがなくて・・・・

教えていただきありがとうございます。今度からはいくつか試行錯誤の結果も載せて自分の考えを述べながらお願いするようにしたいと思います。

回答No.3

info22

質問は自分の解答を書いて分からない箇所だけ質問するのがルールです。
レポートや宿題の丸投げは禁止ですよ。

後半のヒント）
x=y^2の変数変換ご部分積分法を２回繰り返せば、前半の積分になる。

お礼

すみません。丸投げしないように気をつけます。
ルール違反なのにヒントまでいただいて。
後は自分でがんばってみようと思います。ありがとうございました。

回答No.2

noname#75273

確率論の正規分布をおもいだしつつ。
Ｉ＝∫e^(-x^2)dx (積分範囲　0→∞）
からさらに、
　＝∫e^(-y^2)dy (積分範囲　0→∞）とおくと、

I^2 =∫e^-(x^2 + y^2)dx dy (積分範囲　0→∞）
ここで、A_n = {(x,y) | x >= 0 ,y >= 0 , x^2 + y^2 <= n^2}
A_n → A (n → ∞)
x = r cosB y = r sinB 極座標の変換より、

・・・・・・・・・

→I^2 = π / 4　∴I = √π / 2

だと思います。途中計算飛ばしたりとか、多少解説が煩雑ですが・・

お礼

ありがとうございます。

正規分布とかが絡んでくるんですね・・・
見当違いのところを探していたのかも知れないです。