教えてください。不定積分 ∫(e^x /x^3)dx

質問

教科書で問題を解いてるときに　
∫(e^x /x^5)dx
という積分が出てきました。１日考えてみて置換積分を試したりしてもも糸口すら見つかりません。
出来るなら解答までの計算式も含めて、どうかよろしくお願いします。

一応ですが、元の問題は (x^2)y''-5xy'+8y=e^x 　です。
もしこの積分が必要ない時には問題の１歩目から間違ってる事になるのでご指摘お願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

ANo.2さんの回答が「内容確認中」なので重複しているかもしれません。

途中で∫(e^x /x^5) dx は出てきます。∫(e^x /x^5) dx は部分積分法を使って、∫(e^x /x) dx を含む形に変形できますが、∫(e^x /x) dx は初等関数で表わすことはできません。

問題の解は、指数積分関数 Ei(n,x) を使うと
　　　y = -(1/48)*( x - 3 )* ( x^2 + 4*x + 2 )*exp(x) - (1/48)*x^2*[ { Ei(1,-x) - 48*C1 }*x^2 - 12*Ei(1,-x) - 48*C2 ] ]
となります。指数積分関数は
　　　Ei(n,x) = ∫[t = 1～∞] exp(-x*t)/t^n dt
で定義されますが、解の中に含まれるのは n = 1 場合の関数
　　　Ei(1,-x) = ∫[t = 1～∞] exp(x*t)/t dt
です。

（解法）
元の微分方程式の両辺を x^2 で割ると
　　y'' - 5*y'/x + 8*y/x^2 = exp(x)/x^2
となるので、z = y/x^2 おくと z(x) に関する微分方程式
　　　z'' - z'/x = exp(x)/x^4
となります。さらに p = z' とおけば、p(x) に関する1階の微分方程式
　　　p' - p/x = exp(x)/x^4
になります。この解は
　　　p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
問題の積分 ∫exp(x)/x^5 dx は部分積分を繰り返せば
　　　∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
　　　 p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
したがって
　　　z = ∫p dx = -(1/24)*∫exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) dx + (1/24)*∬exp(x)/x dx + C1*(x^2/2) + C2
最終的には
　　　y = x^2*z
から y を計算しますが、以下の性質を使えば Ei(1,-x) で表わすことができます。
　　　∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x)
　　　∫exp(x)/x^2 dx = -exp(x)/x - Ei(1,-x)
　　　∫exp(x)/x^3 dx = -(1/2)*exp(x)/x^2 - (1/2)*exp(x)/x - (1/2)*Ei(1,-x)
　　　∫exp(x)/x^4 dx = -(1/3)*exp(x)/x^3 -(1/6)*exp(x)/x^2 -(1/6)*exp(x)/x - (1/6)*Ei(1,-x)
　　　∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)

お礼

途中の計算までご丁寧にありがとうございます。大体分かったんですが、重ねて質問させてください。まず
p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x　　から
p = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
でｘが消えてるのは単なる書き忘れでしょうか？後、
∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x)
がどうしてこうなるのか分からないのでご教授お願いしますm(__)m

回答No.4

inara1

＞単なる書き忘れでしょうか？
済みません、書き忘れです。
　　　∫exp(x)/x^5 dx = -(1/24)*exp(x)*( 1/x + 1/x^2 + 2/x^3 + 6/x^4 ) + (1/24)*∫exp(x)/x dx
なので
　　　p = x*∫exp(x)/x^5 dx + C1*x
　　　　= -(1/24)*exp(x)*( 1 + 1/x + 2/x^2 + 6/x^3 ) + (x/24)*∫exp(x)/x dx + C1*x
が正解です。

＞∬exp(x)/x dx = - exp(x) - x*Ei(1,-x) がどうしてこうなるのか
これも部分積分で計算できます。
　　　∬exp(x)/x dxdx = ∫{ 1×∫exp(x)/x dx } dx
なので
　　　= x*∫exp(x)/x dx - ∫x*{ exp(x)/x } dx
　　　= x*∫exp(x)/x dx - ∫exp(x) dx
　　　= x*∫exp(x)/x dx - exp(x)
∫exp(x)/x dx = -Ei(1,-x) なので
　　　= -x*Ei(1,-x) - exp(x)

お礼

ああ、なるほど。判りました。
わざわざありがとうございました

回答No.2

info22

質問の不定積分は部分積分を繰り返せば,最後に
∫(e^x)/xdx という積分に行き着きます。
この積分は初等関数の範囲では積分できません。

大学の数学レベルになり、参考URLの超越関数（特殊関数）の指数積分Ei(x)を使えば、積分を以下のように表すことができます。
∫(e^x/x^5)dx = -(1/24)(6+2x+x^2+x^3)exp(x)/x^4 -(1/24)Ei(x)

なお、
> (x^2)y''-5xy'+8y=e^x
この微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1は

　y1=C1x^4+C2x^2

になりますが、特解y1は初等関数の範囲では解けません。
特殊関数の指数積分Eiを使えば特解y2が求まるので、
一般解yは次のように表されます。

　y=y1+x2=C1x^4+C2x^2
　　-(1/48)(x-3)(x^2+4x+2)e^x -(1/48)(x^4-12x^2)Ei(x)

参考URL
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=exp%28x%29%2Fx&random=false
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi?path=08000000%2e%93%c1%8e%ea%8a%d6%90%94%2f07000500%2e%90%cf%95%aa%8a%d6%90%94%2f10000400%2e%8ew%90%94%90%cf%95%aaEi%28x%29%20%28%83O%83%89%83t%29%2fdefault%2exml

お礼

微分方程式の右辺=0とおいた方程式の一般解y1が
y1=C1x^4+C2x^2
になるまでは分かったんですけどね。たまたま基本解の一つがｘ^2と気付けたので。レポートの問題だったのですが指数積分はテキストに載ってないのでEiをA(x)とでも置いて計算、提出してみます。ありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

この不定積分は初等関数では表せないものです
部分積分を繰り返すと，本質的に
∫e^x/x dxに帰着できますが，
これは「指数積分」と呼ばれる特殊関数の親戚です．
（「指数積分」そのものは広義積分で定義されるものなので
あえて「親戚」といってみる）．

微分方程式についてはあんまり得意じゃないのでパス．

お礼

初等関数で表せないっていうのはビックリです。レポートの問題だったのですが、その範囲でのテキストに指数積分が載ってない以上適当な関数で表して提出しますわ。ありがとうございました。