∫e^(xy) dxについて

質問

∫e^(xy) dxの解き方を教えてください.

以前も質問をさせて頂いのですが，積分の講義を受けておらず，独学で勉強している為，yを定数と見るということは分かっているのですが，yを定数とした時の積分の方法が分かりません．置換積分を使うのでしょうか．なるべく詳しい回答をよろしくお願いします．

回答No.1

info222_

>置換積分を使うのでしょうか．なるべく詳しい回答をよろしくお願いします．

dxのxがこの積分の変数であり, xとは関係ない独立変数のyは積分の中では定数として扱います。積分の変数を t=xy により x から t へ別の変数に置き換えて置換積分する。
dt=ydx であるから
y=0の場合は ∫ e^(xy) dx=∫e^0 dx=∫ 1dx=x+C
y≠0の場合は x=t/y, dx=(1/y)dt
∫ e^(xy) dx=∫e^t (1/y) dx=(1/y) ∫ e^t dt=(1/y) (e^t +C) =(1/y)e^(xy)+C/y
=(1/y)e^(xy)+ C'
ここで, x について不定積分ですから積分定数CやC'=C/yは, 一般的には, 不定積分においては定数として扱った独立変数y の任意の関数です。
C' = f(y)