平均値を使う問題について。

質問

おはようございます。どうかお聞かせください。

問題）
不等式|sinx-siny|≦k|x-y|が全ての角度ｘラジアン、ｙラジアンについて成り立つような定数ｋの最小値を求めよ。

解答）
|sinx-siny|≦k|x-y| -----(1)
x=yのとき(1)は成立する。
x≠yのとき、
(1)←→|(sinx-siny)/(x-y)|≦k --------(2)
とくに、y=0、x→0とすると、
|(sinx-siny)/(x-y)|=|sinx/x|→１
よって、ｘ≠ｙを満たす全ての実数ｘ、ｙに対して(2)が成立するためには、1≦kであることが必要である。

逆に1≦kのとき、(sinx)'=cosxであるから、平均値の定理より、
(sinx-siny)/(x-y)=cosc
となるｃがｘとｙとの間に存在し、
|(sinx-siny)/(x-y)|=|cosc|≦1≦k
となって、確かに、x≠yを満たす全ての実数ｘ、ｙに対して(2)が成立する。
よって求める最小値は１である。

疑問点）
１）
「とくに、y=0、x→0とすると」の部分なのですが、急に、y=0、x→0と言い始め、sinx/x=1の極限の法則に結び付けた挙句に、勝手に「だから(2)の成立する条件は1≦kだ～」などと言い切ってしまっているのが、腑に落ちません。他に、α≦ｋとなる点があるのではないのでしょうか？？

２）「逆に、1≦kのとき～」の逆にという言い回しは、一体何を意味しているのでしょうか・・・？（何がしたくて、言っているのでしょうか？確認のため・・？）

３）|(sinx-siny)/(x-y)|=|cosc|≦1≦k
以降についての、↓自分なりの見解↓

(2)を平均値の視点からみたら、
kのポジションが、|cosc|と同じものなので、それが、≦１であるから、結局　1≦ｋ≦1で　１である。
という理解でよいのでしょうか？
でも、だとしたら、何故わざわざ「最小値を求めよ」なんて問うの？ってなっちゃいますよね・・・

回答No.1

maru-tu · ベストアンサー

1) 関数 Y=sinX のグラフを描いた上で
　F=|(sin x-sin y)/(x-y)|
が何を意味しているかを考えると、問題の概要が見えてくるかと思います。つまり上述の F とは「Y=sinX のグラフ上の任意の2点を結ぶ直線の傾き」をあらわしていることがわかります。これより「Fの最大値が1」であることがわかりますね。

2) 証明なのですから、前半が必要条件、後半が十分条件についての記述になっています。

3) F≦k を満たす k は無数にあります。しかし、その k には最小値が存在するわけです。ですから、k の最小値 kmin を α≦kmin≦β のように上下から挟み、αとβを近づけて一致させることにより kmin を確定させようとしているのです。

お礼

やっと理解することが出来ました。
もう一度、maru-tu様の回答を見ると、
「なるほどー」と思うところでいっぱいです。

１）に関しては、特定の方法があるわけではなく、とりあえずの着眼で制限しておき、後に（３）で範囲をで確定していたのですね。

本当にありがとうございました。
分からなかったことが分かるって、本当に楽しいですね！

補足

お返事ありがとうございます。
はさみうちのようなことを行っていたのですね！とてもわかりやすくて、凄く嬉しいです。

★ただやっぱり、疑問（１）が解らないです。
何故「とくに、y=0、x→0とすると」という事を始めたのでしょうか・・・？？

F=|(sin x-sin y)/(x-y)|がY=sinXの２点を結ぶ直線の傾きと見る着眼って、凄く面白いですよね。
こういう着眼が出来る人って尊敬します。

回答No.3

ltx78

> ★ただやっぱり、疑問（１）が解らないです。
> 何故「とくに、y=0、x→0とすると」という事を始めたのでしょうか・・・？？

問題では，「全ての」x, yについて条件が成り立つkの最小値を求めよ，となっていますね．

しかし，最初から「全て」に対して何かをするのは難しい．
まずは「特定の」x, yについて成り立つkの最小値を求め，
そのあとでそのkの最小値が「全ての」x, yについて条件を満たすことを示そう．

この解答を作成した方はそのように考えたのでしょう．

もちろん，もっと簡単な解答があるのはご指摘の通りです．
「こんな攻め方もあるんだな」くらいに考えておくのがよいのでは．

問題集などの模範解答を作る人も所詮は人間です．
たまには間違えますし，あまりスマートでないことをやってしまうこともあるんですよ．

お礼

お返事ありがとうございます。
「こういうパターンは、y=0、x→0」と暗記するのは簡単ですが、
どういう理由で、こういう手順を踏んでいるのか分からず、困っていたんです。
まずは、最初の何かとして、「特定の」ｘ、ｙについて成り立つｋの最小を求めていたんですね。

本当にありがとうございました！

回答No.2

take_5

解答が拙いが、要するにx＝yの時の場合を含めて、|(sinx-siny)/(x-y)|≦kであるから、kが左辺の|(sinx-siny)/(x-y)|の最大値より大きければ良いだけ。
従って、平均値の定理を使って、|(sinx-siny)/(x-y)|の最大値を求める。
そのように書けばわかりやすいのに、こんなわかりにくい解答を書いてるだけ。

お礼

確かに数式を良く見ると、kが左辺の|(sinx-siny)/(x-y)|の最大値より大きければ良いだけなんですね・・
数学は良く観察して、簡単に解くというのって重要なのですよね。