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波動方程式

高校で習った波の式 Y=Asin(ωt-kx) の意味は、わかるのですが 量子力学で、出てくる波動方程式 Ψ=Aexp(i(kx-ωt)) には,疑問があります。 まず、なぜ、expの形にしているのですか? 大学の先生に質問したら計算が楽になるから、なんちゃらかんちゃらと、言われましたが、計算が楽になるからといって勝手にそんなことをしていいのですか? それとまだあまり、計算問題を解いたりしたりしていないからかもしれませんが、どのへんが、楽になるのかもわかりません。 また、上の波の式では、ωt-kx なのに波動方程式では kx-ωtと順番が違うのですか?

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  • cyototu
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まず、これは波動方程式ではありません。これは、量子力学の場合、例えば粒子に何も力が働いていないとき(すなわち自由粒子)のシュレーディンガーの波動方程式の固有値問題の解の一つです。これがもし古典電磁気学の場合には、荷電粒子が存在しない場合の電磁波の従うマックスエウの波動方程式の解の一つでもあります。 量子力学の場合ご存知のように、運動エネルギーは座標に関する2回の微分演算子で表されます。そして、初等数学ではご存知のように、2回微分演算子の固有関数は、sin か cos か、それの線形結合で表される関数です。その特殊な線形結合がexp関数です。ところで、この3種類の関数のどれを使うのかは、その波動関数が座標の境界でどういう値を持っているのかを知らなくては、決めることができません。 よく使われる境界条件は、(1)その波が境界で0に固定されている、(2)その波の座標による一階の微分が境界で0に固定されている、(3)その境界の一方の端の値が他の一方の端の値と同じ、すなわち、周期的になっている、の3つです。そのどれを選ぶかで、sin か cos か exp のいずれかに決まってしまいますので、便利だからといって勝手に選ぶ訳けには行きません。 ところが物理学では、しばしば、その系が存在する物理的空間がめちゃくちゃに大きく(例えばその大きさは全宇宙)、かつ、自分か着目する空間の領域がその空間全体に比べてめちゃくちゃに小さくて、しかもその着目部分が境界から十分離れている場合には、そこでの物理量の値に対する、その空間全体の端(例えば宇宙の端)からの影響は大変小さいものと期待されます。そのような場合には、上の3っつの境界条件のどれを選んでも、その結果は、境界の影響から来る大変小さな差を除いて、皆同じになるものと期待されます。その場合には、この3つの内、自分の計算にとって一番手間の掛からない境界条件を選べば良いことに成ります。 どれが一番手間が掛からないかは、自分が何を計算したいのかによりますが、ほとんどの問題では、周期的境界条件を満たすexp が便利です。なぜなら、指数関数のかけ算では、その指数が単なる和になるから、計算が簡単に出来るからです。それに対して、三角関数では加法定理を使わなくてはならないので、一般に計算が複雑になります。そのことを、先生は計算が楽になるからだと表現したのです。ただし、どの物理量を計算するかによって、場合によっては三角関数の方が簡単な計算になるときもあります。 ところで、上では慎重に「期待される」という言葉を使いましたが、果たしてその期待が正しいかどうかは、上の3つの境界条件について、実際に計算して、きちっと確認しなければいけないのですが、それを実際に計算した結果、物理量としてよほど変わった量を計算しない限り、期待通りになっていることが判っているのです。先生の説明不足ですね。 ですから、物理学はそんなに「なんちゃらかんちゃら」としたものではありません。 ωt-kx の順番に関しては、#1さんの言う通りです。

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>まず、なぜ、expの形にしているのですか? 数学というのは物理現象を表現するための言語です。 言葉で物理現象を表現するのは大変ですよね?だから数学という言語を使って表現しています。 ところで、たとえば自分のことを言うときに、「私」「俺」「僕」「あたし」「拙者」等などいろんな表現があるのはご存知でしよう。 それと同じように、物理現象である波のを数学という言語で表すときに、なにもひとつの方法しかないわけではないのです。 いろんなあらわし方があるわけです。そして、その時々で都合のよい表現方法を使うわけです。 だから波がsinで表記されているからといって、波をsinで表記しなければならないという決まりはなく、ほかの数学的表現でもかまわないわけです。 Ψ=Aexp(i(kx-ωt)) というのは複素平面を使ったそういう物理現象の波を表す表記方法のひとつなのです。 >どのへんが、楽になるのかもわかりません。 例題を書いてみてもよいのですけど、まあそれはいずれやることなので省略します。 簡単に言うと、三角関数での表記の場合には、しばしば三角関数の公式を駆使して、式を整理しなければならないことがよくあります。ただこれは結構面倒な作業です。どの公式を適用できるのかじっくり眺めて考えねばなりません。 でもexp表記の場合にはそういう必要性がなくなるのです。 >また、上の波の式では、ωt-kx なのに波動方程式では kx-ωtと順番が違うのですか? これは波の進む方向をどちらにするのかという定義、そして時間が正の方向をどう定義するのかという問題に過ぎません。 つまり物理現象である波を説明するときに、数学の式を使って表現しますけど、そのときにはたとえば、tは時間、ωは....と定義していきますが、符号についてもやはり定義して使うのです。 まあ、一般的にはkx-ωtという表記がexp表記の場合には一番よく使われます。

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