微分方程式

質問

誰か次の方程式の解き方を教えて下さい。
ｙ’＋λｙ＝λexp(-λt)
答えはy=λtexp(-λt)となるみたいなんですがよく分かりません。
ｙ’＋λｙ＝０の一般解はｙ＝Aexp(-λt) A:(定数)
となりますがどうやったらA＝λtに持っていけるんですか？

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

ｙ＝Aexp(-λt)のAをtの関数と新たに考えて方程式に代入します。まず、y=A(t)exp(-λt)を微分すると y'=A'(t)exp(-λt)-λA(t)exp(-λt)なので左辺は

　y'+λy=A'(t)exp(-λt)

です。これと右辺を比較すると

　A'(t)exp(-λt)=λexp(-λt)

から、A'(t)=λ となります。これより A(t)=λt+γ(γは定数)となるので、y=(λt+γ)exp(-λt)です。

回答No.2

KENZOU

問題の微分方程式は１階線形微分方程式になります。１階線形微分方程式を(1)とするとこの一般解は(2)で与えられます。
　y'＋P(t)y=Q(t)　　(1)
　y=exp(-∫Pdt)(∫Qexp(∫Pdtdt+C)　(C:定数）　(2)
いま，P(t)=λ，Q(t)=λexp(-λt)ですからこれを(2)に代入すれば一般解が求まります。具体的に計算すると
　exp(-∫Pdt)=exp(-λt)　　(3)
　exp(∫Pdt)=exp(λt)　　(4)
　∫Qexp(∫Pdt＋C)=λtexp(c)　　(5)
(3)～(5)を(2)に代入すると
　y=exp(c)λtexp(-λt)　　(6)
ここでexp(c)は定数でAと書くと
　y=Aλtexp(-λt)　(7)
が求める一般解となります。ここで積分定数CをC=0とするとA=1となりますから書かれている解の形となりますね。