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ナブラの計算(波動方程式)

物理電磁気学の波動方程式のナブラの計算 波動方程式 ∇^2 E=ε_0 μ_0 (∂^2 E)/(∂t^2 )   ∇^2=∂^2/(∂x^2 )+∂^2/(∂y^2 )+∂^2/(∂z^2 )   平面波 E=E_0 e^(i(k・r-ωt))   ik・r =i(k_x x+k_y y+k_z z) 平面波の式を波動方程式に代入すると -k^2 E_0 e^(i(k・r-ωt))=-ω^2 ε_0 μ_0 E_0 e^(i(k・r-ωt)) となる。 この左辺がどのようにしてこの値になるかを教えてください。よろしくお願いします。

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E=E_0e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt} となりますから,例えば∂/∂xは因子e^{ik_xx}だけに作用して, ∂E/∂x=E_0ik_xe^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt} すなわち ∂E/∂x=ik_xE となります.もう一度作用させると ∂^2E/∂x^2=E_0(ik_x)^2e^{ik_xx}e^e^{ik_yy}e^{ik_zz}e^{-iωt} すなわち ∂^2E/∂x^2=(ik_x)^2E となります.∂/∂y,∂/∂zについても同様で ∂^2E/∂y^2=(ik_y)^2E, ∂^2E/∂z^2=(ik_z)^2E になります.これらを加えると ∂^2E/∂x^2+∂^2E/∂y^2+∂^2E/∂z^2 ={(ik_x)^2+(ik_y)^2+(ik_z)^2}E ∇^2E=-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)E=-k^2E_0 e^(i(k・r-ωt)) となります.

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質問者からのお礼

詳しい解説をありがとうございました!すごくわかりやすかったです。

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  • 回答No.1
  • Tacosan
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「k^2」が何を意味するか分かっていますか? ラプラシアンはちゃんと計算できますか?

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質問者からの補足

k^2は2π^2/λ^2でラプラシアンは質問に書いた式ではないですか?

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