• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

波動方程式の起源について教えて下さい。

量子力学のシュレティンガー方程式や流体力学の波動方程式などでは 波を記述する方程式として当たり前のように二階微分の式が現れますが、 波を記述するためにこのような式で表されるというのに、導出や証明はあるのでしょうか? いくつか書籍を見てみたのですが、当たり前のように出てきていて、なぜこのような式で表されるのかについて言及してある本が見つかりませんでした。 どなたか解説してある書籍などありましたら教えて下さい。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 物理学
  • 回答数4
  • 閲覧数444
  • ありがとう数3

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
noname#252183
noname#252183

波動を起こす媒質の各要素(質量M)が互いにばね定数Kのばねで結ばれているモデルを考える。 一つの要素が平衡位置からuずれているとき、(図は縦波) M・∂u^2/∂τ^2=K・(u(x+a)-u(x))-K・(u(x)-u(x-a)) 左辺はニュートンの法則の力。 右辺第1項は右のばねに引かれる力、第2項は左のばねに引かれる力(フックの法則)。 両辺をK・a^2 で割ると、 (M/Ka^2)・∂^2u/∂τ^2={(u(x+a)-u(x))/a -(u(x)-u(x-a))/a}/a (M/Ka^2)=c^2 は定数。上式でa→0の極限を取れば右辺はu(x)のaによる2階微分の形。微小のaをdx に書き換えて、   c^2・∂^2u(x,τ)/∂τ^2=∂^2u(x,τ)/∂x^2

参考URL:
http://jaguar.eng.shizuoka.ac.jp/lecture/chap/node46.html

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

古典的波動にかんしては、f(x、t)が、空間的にも時間的にも「同じ形の繰り返し」 となる(つまり、我々がよく知っている波)とすると、 古典的波動方程式が出てきます。 (式の導出は、あとで調べて書きます) シュレティンガー方程式については、僕も同様な疑問があったのですが、 清水明「新版 量子論の基礎」を読んで、わかりました。 状態ベクトル|ψ>の|x,t>への射影 |x><x|ψ> は、 |x,t><x,t|ψ>=f(x,t)|x,t> となります。 一般に、このf(x,t)が(シュレティンガー描像の)波動関数ψ(x、t) と呼ばれています。 何故、「波動」なのか つまり、空間的にも時間的にも「同じ形の繰り返し」かというと、 これに、 ih'∂/∂t|ψ>=H^|ψ> という(量子力学が成り立つための)要請 を入れると、ポテンシャルVが0では、上記のf(x,t)=ψ(x、t) が、 ψ(x、t)=Aexp(kx-wt) と表すことができるからです。 当然ながら、シュレティンガー方程式は、古典的波動方程式と違いますから、 常に、ψ(x、t)が「空間的にも時間的にも同じ形の繰り返し」と言えるわけでは ありません。 尚、以下の本のp35,36とp66に、 波動関数ψ(x、t)と古典的波との違いが、一目瞭然に書いてあります。 「Excelで学ぶ やさしい量子力学」新田英雄 立ち読みで、十分わかる記述です。 (似た名前の本と間違えないように)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.2

●量子力学関係では  『岩波講座 現代物理学の基礎 3 量子力学 I 』  (湯川秀樹・井上健・豊田利行監修;1972.4.12発行)  この『第2章 物質波の理論と波動力学』が圧巻。  ド・ブロイ,シュレーディンガーの主要論文の要点を元に非常に丁寧に解説してある。量子力学発展史の解説としても優れていると思う。  大学の図書館等なら置いてあるかもしれない。湯川秀樹の没後(? だったと思う。)に発行された同シリーズ増刷版では、『量子力学III』が削除されたといういわくつき? (流体力学は門外漢でわからない。)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

J.J. サクライ「現代の量子力学」とか読んでみたら

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 波動方程式

    高校で習った波の式 Y=Asin(ωt-kx) の意味は、わかるのですが 量子力学で、出てくる波動方程式 Ψ=Aexp(i(kx-ωt)) には,疑問があります。 まず、なぜ、expの形にしているのですか? 大学の先生に質問したら計算が楽になるから、なんちゃらかんちゃらと、言われましたが、計算が楽になるからといって勝手にそんなことをしていいのですか? それとまだあまり、計算問題を解いたりしたりしていないからかもしれませんが、どのへんが、楽になるのかもわかりません。 また、上の波の式では、ωt-kx なのに波動方程式では kx-ωtと順番が違うのですか?

  • Dirac方程式について

    質問1. Dirac方程式を量子化する前の式 ε/c=α1p1+α2p2+α2p3+βmc は、古典力学の式として、何か利用価値は無いのでしょうか? α1、α2、α2、β:行列 質問2. また、この式を量子化せずに形を波動方程式にすることができるように思われるのですが、 そのようにしても、古典力学の式として何か、利用価値は無いのでしょうか? 質問3. この場合、4つの式になりますので、波動関数を掛けないと答えは、出ないのでしょうか?とすると、やはり量子化しないと意味は無いのでしょうか? 質問4. 一般に波動方程式を解く際、微分方程式の本を見ると、変数分離とか何やらで、 しんきくさい解き方をしていますが、例えばDirac方程式の平面波の計算では、 波動関数を掛けて、固有値・固有ベクトルを一気に計算して求めます。 古典力学的な波動方程式や熱伝導微分方程式で、Dirac方程式のように 波動関数に近いものを掛けて、固有値・固有ベクトルを求めている 例はあるのでしょうか? 質問5. 微分方程式の本に載っている古典力学の計算「例えば変数分離を使って波動方程式を解いた例」を、時間がかかり非効率的になるかもしれませんが、Dirac方程式の平面波の計算のように、波動関数(あるいはそれに近いもの)を掛けて、固有値・固有ベクトルを計算して求めることは可能でしょうか。

  • 弦の振動の波動方程式

    弦の振動の波動方程式 弦の振動の波動方程式の導出方法を教えてください。 途中式等詳しく教えてもらえると助かります。

  • 波動方程式について

    現在波動方程式についての勉強をしています。 授業では d^2u(x,t)/dt^2=E/P*d^2u(x,t)/dx^2 (Eはヤング率、Pは物体の密度) という式で教わっているのですが、ネット「波動方程式」と検索してもこのような式で書いているところは一つもなく、もっとややこしい複雑な式を書いているサイトばかりでした。 はたしてこの数式も波動方程式と言うのでしょうか? そして方程式というからには何かしら解というものがあると思うのですが、この波動方程式の解はいったい何なんでしょうか? 解説よろしくお願いします。

  • 波動方程式の導出で、偏微分の等式のところがどう変形したのかよくわかりま

    波動方程式の導出で、偏微分の等式のところがどう変形したのかよくわかりません。 どうなっているのでしょうか?画像の部分です

  • 波動方程式

    以下の問題について質問します。 波動方程式∂^2φ/∂t^2=∂^2φ/∂x^2の解で初期条件φ(x,0)=exp(-x^2) φt(x,0)=-xexp(-x^2)を満たすものを求めよ。 与えられた方程式(波動方程式)と初期条件を、それぞれ x についてフーリエ変換する。そうすると t に関して二階の常微分方程式が得られるので、それを解く。最後に、得られた解を x について逆フーリエ変換すれば答が得られるとのことですが初めの方程式(波動方程式)と初期条件を、それぞれ x についてフーリエ変換するという所から躓いています。どなたか途中の計算過程を教えていただけないでしょうか。

  • 物理現象を対象とした偏微分方程式

    偏微分方程式には、2階の偏微分方程式がよく取り上げられると思うのですが、 (波動方程式など) 1階の偏微分方程式はどのような場面で取りあげられるのでしょうか? あまり見たことがないので疑問に思いました。 何となくですが、電磁波などの波に関する物理現象を考える場合に 現れそうな気がするのですが・・・ また、なぜ2階の偏微分方程式の方が学問的にもより考えられているのかがよくわかりません・・ どなたかわかる方教えてください。

  • 波動方程式を満たす証明

    波動方程式を満たす証明 u(x,t)=ae^i(ωt-kx+Φ)=ae^(iΦ)e^(iωt)e^(-ikx) 上記の式が2次元の波動方程式を満たす証明を教えてください。

  • 古典的波動力学の構築・・・波動方程式からホイヘンスの原理を導く

    古典的波動力学なんてメジャーな分類にならないかもしれませんが、その構成を考える上で悩んでいます。 高校物理の範囲で考えると、波動の基本原理は ホイヘンスの原理ですが、 やはり、波動方程式から導くのが正当だと思います。 そこで、まずホイヘンスの原理を数学的に記述するとどう表記できるか? 波動方程式からいかに導けるかを教えて下さい。

  • 波動方程式について

    物理でよく見かける簡単な波動方程式 y=Asin2π(t/T-x/Λ) があります。この式の意味はわかるのですが、この一般的な式になぜcosが入っていないのか、いまいち納得できません。 また、フーリエ変換を勉強しているとき、振幅の方程式で A(x,t)=A'cos{2π(t/T-x/Λ)} という式がでてきました。これにはなぜsinが入っていないのでしょうか。 y=A(sin~+cos~)というような式であった方がいろんな波を表される気がするのですが・・・。どちらか片方で都合がよい理由などがもしあるなら教えてください。よろしくお願いします。