高校の三角関数の問い

質問

高校３年生です。下記の問いを教えて頂きたいです。
解答はあるのですが、解説が無く困っています・・・・
（問１）
0≦θ≦2πとする。y=2(cosθ)x ＋　cos2θ　－1の通りうる範囲をxy平面上に図示しなさい。
（解答）
（ⅰ）－2≦x≦2の時、y=－(1/2)x^2－2、y≦－2x、y≦2x
（ⅱ）x＞0の時、－2x≦y≦2x、x＜0の時、2x≦y≦－2x

自分でできたのは与式をcosθ=tとおき、tの二次式に整理し、2t^2＋2xt－y－2=0
これの判別式をとるとy=－(1/2)x^2－2が出ると思うのですが
これ以降がわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

＞　自分でできたのは与式をcosθ=tとおき、tの二次式に整理し、2t^2＋2xt－y－2=0
それでよいです。このとき、tが実数解を持つような(x,y)の範囲を求める・・・のではなくて、t が -1 ≦ t ≦ 1 で実数解を持つような(x, y) の範囲を求めないとね。t = cosΘ なので。

z = f(t) = 2t^2 + 2xt - y - 2
f(t) = 0 の解が -1 ≦ t ≦ -1 の範囲で少なくとも１つ存在する条件を求めるには、放物線 z = f(t) の軸は t = -x/2 だから、

-x/2 ＜ -1 のときは ・・・
-1 ≦ -x/2 ≦ 1 のときは、・・・
1 ＜ -x / 2 のときは ・・・
と場合分けをして、(x, y) の範囲を求めればよい。分かりにくければグラフを書いて考える。

(ii) の解答、xの場合分けは間違いですよね。

お礼

ありがとうございます！
解けました。まさか問題集の解答が間違っているなんて・・・。
感謝感謝ですm(_ _)m

回答No.2

kumipapa

やれやれ、誤記訂正

f(t) = 0 の解が -1 ≦ t ≦ 1 の範囲で少なくとも１つ存在する条件を求めるには、・・・

です。