積分

質問

∫(x^2+1)/(x^4-5x^2+4) dx
∫1/(x^3-1)dx
の積分がよくわからないのですが、誰か教えてくれませんか。
宜しくお願いします。

回答No.5

info22

#1,4です。
A#4の補足質問の回答

>I ＝∫{1/3(x-1)-(x+2)/3(x^2+x+1)}dxとなり、
ここまでOK。
>I ＝1/3log|x-1|-(x+2)/3(x^2+x+1)dxとなりました。
I ＝(1/3)log|x-1|-(1/3)∫(x+2)/(x^2+x+1)dx
積分記号忘れです。

> (1)＝{(-1/6)(x^2+x+1)'/(x^2+x+1)}-｛(1/2)1/(x^2+x+1)｝
ここまでOK。
>　＝(-1/6)log|x^2+x+1|-｛(1/2)1/(x^2+x+1)｝
この式間違いです。前の項だけ積分して、後ろの項は積分前の式のままです。
(1)　＝(-1/6)log|x^2+x+1|-(1/2)∫{1/(x^2+x+1)｝dx

> arctanx=1/(x^2+1)の基本公式を用いて考えると、
>このような公式は存在しません。
∫{1/(x^2+1)}dx=arctan(x)＋C
という公式なら存在しますが…。

>∫G*arctan(H*(2x+1)）dx＝(1/2)1/(x^2+x+1)になるはず
まったく理解不能です。
∫(1/2){1/(x^2+x+1)}dx=G*arctan(H*(2x+1))+C
と勘違いしていませんか？
したがって、それ以降の計算は無意味。

順番に変数変換して行けばいいだけです。
定数は別にして（後からかけるとして）

∫{1/(x^2+x+1)}dx＝∫[1/{(x+1/2)^2+(3/4)}]dx

u=x+(1/2)と置換して　du=dx
＝∫[1/{u^2+(3/4)}]du
＝(4/3)∫[1/{((2/√3)u)^2+1}]du

t=(2/√3)uと置換して　dt=(2/√3)du
＝(4/3)(√3/2)∫{1/(t^2+1)}dt
＝{2/(√3)}arctan(t)+C
後は t=(2/√3)u,u=x+(1/2)を順に代入してやり変数をxに戻すだけです。

後はやってみてください。
分らなければ、途中計算式を補足に書いて質問してください。

回答No.4

info22

#1です。
A#1の補足質問の回答
> 回答では、「(一次式)/(2次式)の項の和になります。
> f'(x)/f(x)形の項を分離して、残りの項を変数変換すればOKです。」
部分分数展開は積分手法の中の最も基本的かつ重要な手法の１つです。
部分分数展開には色々な方法がありますが代表的なものに未定係数法があります。部分分数展開式に未定係数を仮定して分母を払って式を展開して
同じ次数の項を等しいとおく。いわゆる恒等式の性質を使うわけです。
未定係数が定められないということは
未定係数を使った、部分分数展開式が正しくないと言うことです。展開式を分母で通分すれば左辺と右辺が同じ式になる（恒等式）はずで、展開式の仮定が間違っていれば係数の変数が一意に定めることができません。
部分分数展開式の形をヒントで上げましたが、それを無視して
いくら式を仮定しても恒等式になっていませんので未定係数が正しくもとまるはずがありません。これは基本的な文字変数の分数式の計算の基礎力が不足していることを意味します。そのあたりを復習しなおさないと将来失敗しますよ。
A#3でも指摘されているように
1/(x^3-1)＝A/(x-1)+(Bx+C)/(x＾2+x+1)
とおいて、共通分母の(x^3-1)=(x-1)(x＾2+x+1)を両辺にかけて
1=A(x＾2+x+1)+(Bx+C)(x-1)
1=(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C
この式は恒等式ですから、xの各次の係数を等しいとおく「未定係数法」を適用して
A+B=0, A-B+C=0, A-C=1
この連立方程式を解けばA,B,Cが決定できます。

＞Aには定数、Bには一次式を入れると、問題と通りに1になることはわかり
＞ましたが、このAとBがもとめることができません。
＞どのように、変換したらよいのでしょうか。
よく分かって見えないためにこのような質問をされるのでしょう。
未定係数法や恒等式について復習しなおされた方がいいと思います。

部分分数展開が正しくできないと
> f'(x)/f(x)形の項を分離して、残りの項を変数変換すればOKです。」
のステップに進めません。
(Bx+C)/(x＾2+x+1) ＝> D(x＾2+x+1)'/(x＾2+x+1)+E/(x＾2+x+1)
D(x＾2+x+1)'/(x＾2+x+1)の積分 → F*log_e |...|
E/(x＾2+x+1)の積分 → G*arctan(H*(2x+1)）
の形になります。

A#2の補足質問の回答
A#1のヒントに書いたように部分分数展開式の置き方は正しいです。

> ∫(x^2+1)/(x^4-5x^2+4) dx=∫{A/(x+2)+B/(x-2)+C/(x+1)+D/(x-1)}とおき、
部分分数分解しました。

> すると、A=-5/14,B=-5/21,C=-4/21,D=5/42となり
連立方程式が正しく解けていないためA,B,C,Dの値が間違っています。

積分以前に未定係数法や連立方程式の解き方の復習をして基礎力をつけてください。正しかどうかは、部分分数展開式でxに簡単な値(たとえばx=0)を代入してみれば確認できます（恒等式の変形ですからxにどんな値を代入しても成立します。）。

＞答えは、(-5/14)log(x+2)-(5/21)-log(x-2)+(5/42)+log(x-1)となりましたが、これでよいのでしょうか
係数の間違いは別にして
a/(x+b)
のタイプの積分はxの変域は x≠-b を除いたxの範囲ですから
積分は
a*log_e |x+b|
としないと正解になりません。
a*log_e (x+b)
ではx<-bで未定義となってしまいます。
よく分からなければ
y=1/(x+2)と
y=log_e |x+2|
のグラフを書いてみてください。
後者のグラフの傾き（勾配）が前者のグラフになっていることが
分かります。（微分と積分の関係です）

補足

回答ありがとうございます。

計算していて、わからないところができたので質問させていただきます。
∫1/(x^3-1)dx＝∫A/(x-1)+(Bx+C)/(x＾2+x+1)dx
＝∫{1/3(x-1)-(x+2)/3(x^2+x+1)}dxとなり、
＝1/3log|x-1|-(x+2)/3(x^2+x+1)dxとなりました。
また、∫(x+2)/3(x^2+x+1)dxの(x+2)/3(x^2+x+1)・・・(1)を同様に部分分数分解すると、
(1)＝{(-1/6)(x^2+x+1)'/(x^2+x+1)}-｛(1/2)1/(x^2+x+1)｝
　＝(-1/6)log|x^2+x+1|-｛(1/2)1/(x^2+x+1)｝
となりました。

次に、残りの項の∫(1/2)1/(x^2+x+1)積分しようとしたらうまくきませんので質問させていただきました。、
回答「E/(x＾2+x+1)の積分 → G*arctan(H*(2x+1)）の部分」を参考にさせて計算したのですが、
G*arctan(H*(2x+1)）という回答から、arctanx=1/(x^2+1)の基本公式を用いて考えると、∫G*arctan(H*(2x+1)）dx＝(1/2)1/(x^2+x+1)になるはずと考えて計算をおこなっていました。
そのときの計算結果が、、
∫G*arctan(H*(2x+1)dx=G*(2Hx+H)'/1+(2Hx+H)}=(1/2)1/(x^2+x+1)より、
H=xを代入すると、
G*{(2x^2+x)'/1+(2x^2+x)}=G*{(2x+1)/1+(2x^2+x)}
(1/2)1/(x^2+x+1)となり、Gの値が0となってしまうのですが、
この解法について教えてて下さい。

宜しくお願い致します。

この∫G*arctan(H*(2x+1)）dxのGとHの求め方を教えていただけないでしょうか。

よろしくお願い致します。

回答No.3

okada2728

No.1さんが
(定数)/(一次式)の項と
(一次式)/(2次式)の項の和
というヒントを与えてくれましたが、このとおりやれば
A/(x-1)+B/(x＾2+x+1)
ではなくて
A/(x-1)+(Bx+C)/(x＾2+x+1)
とおくのでは。そしてA,B,Cを決めてください。
一般に部分分数展開とは
(n-1)次/n次
の分数の和に分けられるのだと思います。

回答No.2

noname#62377

答えってありますか？

１問目は、logがつきますよね？
部分分数にわけて、
それを解く時に適当な数を代入してみると、
簡単に解けますよ。

２問目はlogとarctanがでてきますか？
これも部分分数分解です。
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)ですよね？
ここから分母がx^2+x+1の方をどうするかが
ミソです！

補足

回答ありがとうございます。補足をさせていただきます。
この問題の答えがなく、自分で、やってみたのですが、
前半が、部分分数をやると、
∫(x^2+1)/(x^4-5x^2+4) dx=∫{A/(x+2)+B/(x-2)+C/(x+1)+D/(x-1)}とおき、
部分分数分解しました。すると、A=-5/14,B=-5/21,C=-4/21,D=5/42となり、
答えは、(-5/14)log(x+2)-(5/21)-log(x-2)+(5/42)+log(x-1)となりましたが、これでよいのでしょうか。
後半は、
∫1/(x^3-1)dx=∫1/(x-1)(x^2+x+1)dx=∫A/(x-1)+B/(x^2+x+1)dxとし部分分数分解しようとすると、AとBがもとまりませんでした。(x^2+x+1)の項をなにかに変換することがこの問題を解く鍵とおっしゃってくださいましたが、ここからがよくからなく、これはどのようにしたらもとめたらよいのでしょうか。
教えていただけませんでしょうか。宜しくお願いいたします。

回答No.1

info22

丸投げは禁止事項ですのでヒントだけにします。

前半
被積分関数を部分分数展開して下さい。
(定数)/(一次式)の4項の和に展開できます。
個々の項は積分すると
log_e｜一次式|
の形の積分になります。

後半
これも部分分数展開して下さい。
(定数)/(一次式)の項と
(一次式)/(2次式)の項の和になります。
後の項は
f'(x)/f(x)形の項を分離して、残りの項を変数変換すればOKです。
残りの項はarctanの積分になります。

後は、ヒントを元に自分の解答を作り、補足に解答を書いて下さい。
そして、分からない所があれば、その部分について質問して下さい。

補足

回答ありがとうございます。自分で作った解答です。
・∫1/(x^3-1)dx
　=∫1/(x-1)(x^2+x+1)dx=∫A/(x-1)+B/(x^2+x+1)dx
ここで、
1/(x-1)(x^2+x+1)=A/(x-1)+B/(x^2+x+1)とし部分分数分解し、AとBを求めようとすると、AもBも0になってしまい部分分数分解がうまくできませんでした。
回答では、「(一次式)/(2次式)の項の和になります。
f'(x)/f(x)形の項を分離して、残りの項を変数変換すればOKです。」
とおっしゃっていましたが、この回答ももとに考えてみると
Aには定数、Bには一次式を入れると、問題と通りに1になることはわかりましたが、このAとBがもとめることができません。
どのように、変換したらよいのでしょうか。

教えていただけませんでしょうか。宜しくお願いいたします。