センターの積分で

質問

センターの積分で
∮[0→2/27]x^2 dx + ∮[2/27→4/27](x-4/27)^2 dx =2∮[0→2/27]x^2 dx
と簡単に変換されてたのですが(積分の表し方がわからないので間違ってたらすみません)どの公式をつかったら簡単に纏められるとかありますか？

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

基本的なことですが
通常の積分の記号としては「∫」を使わないといけません。
この「∮」の記号は使ってはいけません。

「∮」の記号は、積分経路が閉じた閉路の場合の閉路積分の積分記号です。
おもに３次元のベクトル場の座標空間や複素座標平面において、積分経路の始点と終点が一致する、いわゆる閉じた積分経路に沿って周回積分する場合の積分に限って使用する特別な積分記号です。

さて本題にもどって
　∫[0→2/27]x^2 dx + ∫[2/27→4/27](x-4/27)^2 dx =2∫[0→2/27]x^2 dx　...(※)

積分の２項目で　変数変換 t=4/27-x とおくと積分範囲は
x：[2/27→4/27] ⇒　t:[2/27→0]
dx=-dt
と変わります。

　I2=∫[2/27→4/27](x-4/27)^2 dx =∫[2/27→0] (-t)^2 (-dt)
　　=∫[0→2/27] t^2 dt

定積分の積分変数は変更して積分結果に影響しないから tをxに直せば

　I2=∫[0→2/27] x^2 dx

I2は(※)の左辺の第一項目の定積分I1と同じになるので、

　I1+I2=I1+I1=2I1=2∫[0→2/27]x^2 dx=(※)の右辺

となる訳です。

お礼

皆様、ありがとうございました。

回答No.3

noname2727

2つめの積分でx－２７＝yとおいて解くといいと思いますよ。

回答No.2

yyssaa

＞∫(x=2/27→4/27)(x-4/27)^2 dxをy=x-4/27で置換すると
x=2/27のときy=2/27-4/27=-2/27
x=4/27のときy=4/27-4/27=0だから
∫(x=2/27→4/27)(x-4/27)^2=∫(y=-2/27→0)y^2dy
=∫(y=0→2/27)y^2dy
yをxに直せば、∫(x=2/27→4/27)(x-4/27)^2=∫(x=0→2/27)x^2dx
よって問題の式が成り立ちます。
なお、∫(y=-2/27→0)y^2dy=∫(y=0→2/27)y^2dyは、被積分関数が
偶関数だからです。

回答No.1

asuncion

公式というよりは、グラフを
書いたときの対称性か何かに
よるのではないでしょうか。