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偏微分について
medousaの回答
- medousa
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＞解析力学の本から見つけました。 p ≡∂L / ∂q(dot) 上式では、ｑを定数とみなしてｑ(dot)で偏微分する。ｑとｑ(dot)は本来は時間微分により結ばれた変数であるが、上式ではその関係を忘れて単純に偏微分すればよい。これはどういうことなのでしょうか？？ Lはラグランジアン，qは一般化座標(x,y,zなど)です．簡略化のため，座標軸x上を運動する物体の∂運動方程式をオイラー・ラグランジュの方程式により導くことを考えます．物体の重心位置をxとすれば，その時間微分xdotは物体の重心速度となります． さてオイラー・ラグランジュの方程式から運動方程式を導く際， ∂xdot / ∂x = 0 ∂x / ∂xdot = 0 として計算しますが，これは，xdotがxの式で表されないことを前提としています．何故このような前提をたてることができるのか．それはxdotは重心という一点の速度を表しているためです．ある時刻t0において物体の重心速度xdotが２つあったら変ですね．つまり時間tを決定すると，重心位置での速度は一意（１つ）に決定するということです（つまりxdot(t)である）．これがxdotがxの関数でない理由です． それではxがxdotの関数でないのは何故か．これも同じです．重心位置xは時刻tが決まれば，ある一つに決定します．つまりある時刻において，１つの物体が２つの場所に同時に存在することはないということ意味しています． （補足） z = Z(x,y) = 2y y = Y(x) = 2x と書くと， z = 2y = Z(x,y) = Z(x,Y(x)) = 2*2x = 4x となり， ∂ z/∂ x = ∂ (2y)/∂ x = ∂ Z(x,y)/∂ x = ∂ Z(x,Y(x))/∂ x = 2*2∂ x/∂ x = 4 であるので， ∂ z/∂ x = 4 です． ∂ Z(x,y)/∂ x = ∂ Z(x,Y(x))/∂ x が成立しないとすると， y = Y(x) = 2x という式がそもそも成り立たないということになってしまいます．
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