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数列
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- kkkk2222
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横書きすると、判り難いので、 縦書きするように、お薦めします。 数列の和 Sn Sn =[1/(1・3)]+[1/(2・4)]+[1/(3・5)]+・・・+[1/(n・n+2)] =(1/2)[1/1] -(1/2)[1/3] +(1/2)[1/2] -(1/2)[1/4] +(1/2)[1/3] -(1/2)[1/5] +(1/2)[1/4] -(1/2)[1/6] +(1/2)[1/5] -(1/2)[1/7] +・・・ +(1/2)[1/(n-4)] -(1/2)[1/(n-2)] +(1/2)[1/(n-3)] -(1/2)[1/(n-1)] +(1/2)[1/(n-2)] -(1/2)[ 1/n ] +(1/2)[1/(n-1)] -(1/2)[1/(n+1)] +(1/2)[ 1/n ] -(1/2)[1/(n+2)] =(1/2)[1/1]+(1/2)[1/2]-(1/2)[1/(n+1)]-(1/2)[1/(n+2)] ---- 2*Sn =[1/1]+[1/2]-[1/(n+1)]-[1/(n+2)] =[3/2]-[(2n+3)/(n+1)(n+2)] =[3/2]-[(2n+3)/(n+1)(n+2)] =[3(n+1)(n+2)-2(2n+3)]/[2(n+1)(n+2)] =[3(n^2)+9n+6-4n-6]/[2(n+1)(n+2)] =[3(n^2)+5n]/[2(n+1)(n+2)] =[n(3n+5)]/[2(n+1)(n+2)] --- 結果は、 Sn=[n(3n+5)]/[4(n+1)(n+2)] 。
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Sn=1/2{(1/1-1/3)+(1/2-1/4)+・・・・+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))} これで,まとめると Sn=1/2{1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)} 後はまとめよう.
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その式までたどり着ければ,あと少しです.以下アイデアのみ. 第四項くらいまでまじめに書くと Sn = (1/2 - 1/6) + (1/4 - 1/8) + (1/6 - 1/10) + (1/8 - 1/12) + ... となりますが,第一項の -1/6 と第三項の 1/6 がキャンセルします. 同様に第二項の -1/8 と第四項の 1/8 がキャンセルします. …… このように考えると,最終的には最初と最後の少しの部分しか 残らないことがわかります.
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