- ベストアンサー
10^n から1を引いた数は9で割り切れることについて
下記の過去質問における、私自身の回答(#4と#5)に関連した質問です。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2100301.html たとえば、 10進法であれば、 「頭の桁が1で、その下がゼロばっかりの数」から1を引いた数は9で割り切れ、 16進法であれば、 「頭の桁が1で、その下がゼロばっかりの数」から1を引いた数はFで割り切れる、 ということについてです。 上記リンク中の自分の回答の文章で、 「ところが、10^n から1を引くと、必ず9だけが並んだ自然数(ただし、n=ゼロのときだけはゼロ)になります。これは、必ず9で割り切れます。」 という部分についてなのですが、 なんか、ちゃんとした証明の文章になっていないです。 このことをエレガントに、できるだけ簡潔に、証明する方法はないものでしょうか。
- sanori
- お礼率94% (2444/2574)
- 数学・算数
- 回答数7
- ありがとう数8
- みんなの回答 (7)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
一つの方法は、 等比級数の形に持っていく方法ですが、 (10^n -1)/(10-1)=10^(n-1)+10^(n-2)+....+10^0 ですので、 10^n -1=9×{10^(n-1)+10^(n-2)+....+10^0} これで、右辺が9の倍数なので、左辺も9の倍数ですね? もう一つの方法は 2項定理を使う方法で 10^n=(9+1)^n として展開すると、最後の項が+1に、それ以外の項が9の倍数になるので、 10^n-1は9の倍数になることが示せます。 展開計算は自分でやってみてください。
その他の回答 (6)
- A-Tanaka
- ベストアンサー率44% (88/196)
こんばんは。 高等学校時代に習ったかと思いますが、帰納法で証明すればよいだけのことです。 つまり、1の時は成り立つ。 kの時は成り立つと仮定して、k+1の時にも成り立つという証明方法です。
お礼
ありがとうございます。 ええ。まさにその帰納法を用いる証明も考えていたのですが、なかなか具体的手順が浮かびませんでした。
補足
皆様 おかげさまで、あっという間に解決できました。 多くのご回答をいただいたところ、大変申し訳ないですが、独断と偏見でポイント付与させていただきます。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
#3です。 ごめんなさい。誤記がありました。次のように訂正させてください。 > (m+1)^n-1 > =[k=0→n]Σ n_C_k m^k -1 > =( [k=1→n]Σ n_C_k m^k +1) -1 > =[k=1→n]Σ n_C_k m^k (誤)=m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_k m^k (正)=m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_(k+1) m^k > =(mの倍数)
お礼
二項定理を用いた証明の具体的手順を教えていただき、理解できました。 ありがとうございました。
- B-sun
- ベストアンサー率66% (52/78)
まじめな方のようですね。 9を9で割ることが出来るのは自明なので9が並んだ数が9で割ることも自明だと思います。 もしくは 9だけが並んでいて9で割ることが出来ない自然数 または 10^n (n>=2 の自然数)から1を引くと、9だけが並んだ自然数ならないn を考えて背理法で証明するのはいかがでしょうか
お礼
ありがとうございます。 ははは。真面目なような、真面目でないような・・・。 実は私も、いの一番にそのやり方を考えていたのですが、なかなかうまくいかなかったもので。
- guchiyama
- ベストアンサー率19% (61/318)
文章と同じことですが、 式で、 (10^n)-1=9*10^(n-1)+9*10^(n-2)+...+9*10^(n-n) =9*(10^(n-1)+10^(n-2)+...+10^(n-n)) よって、(10^n)-1は、9で割り切れる。 とか書くと、それらしく数学的に見えます。 まあ、同じですが・・・ 求めてる回答と違うかったら、ごめんなさい。
お礼
ありがとうございます。 結果的に、等比級数の和の公式を応用したのと同じになるんですね。
- Mr_Holland
- ベストアンサー率56% (890/1576)
m,nを1以上の自然数として、(m+1)^n-1はmの倍数であることを示せばよろしいのではないでしょうか。 以下に証明してみます。 (m+1)^n-1 =[k=0→n]Σ n_C_k m^k -1 =( [k=1→n]Σ n_C_k m^k +1) -1 =[k=1→n]Σ n_C_k m^k =m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_k m^k =(mの倍数) いかがでしょうか?
いかなる自然数nにおいても10^n - 1が9で割り切れることを示せれば いいということでしょうか? 10^n-1=(10-1)(10^n-1 + 10^n-2 + … + 1) =9(10^n-1 + 10^n-2 + … + 1) で後ろは111…1と1がn個並ぶ数になるというのではダメですか?
お礼
電光石火のご回答、ありがとうございます。
関連するQ&A
- おしえてください
誰か、おしえてください。 問題は (1) 7^(n+1)+8^(2n-1)は57で割り切れることを証明するには? 7^(n+1)+8^(2nー1) =7^(n-1+2)+8^{2(n-1)+1} =7^2×7^(n-1)+ ここまでしかわかりません。 (2) 3^36を23で割った余りを求めるには? 3^3=27≡4(mod23) (3^3)^3≡4^3=64≡-5(mod23) (3^9)^2=3^18≡25≡2 (3^18)^2=3^36≡ ここまでしかわかりません。 (3) 2桁の自然数でその2乗した数の下の2桁がもとの2桁の自然数に一致するものがある。このような2桁の自然数を求めるには? 2桁の自然数を 10X+y(1≦x≦9,0≦y≦9) x,yは整数とおくと、 (10x+y)^2=100^2+2×10xy+y^2 =100^2+10・2xy+y^2 ここまでしかわかりません。 できれば、丁寧におしえてくもらえるとうれしいです
- 締切済み
- 数学・算数
- 「n! は平方数にならない」?
以前,大学の入試問題で(どこ大学かは失念しました), 「1 から 10 までの自然数を 2 グループに分け,それぞれ積をとる。このとき 2 つの積が一致することはあるか」 というものがありました。 答えは「ない」で,それは 10! が平方数にならない,ということなのですが,ポイントとしては,「10 までの自然数の中には 7 の倍数は 1 つしかないから,2 つのグループの一方は 7 の倍数で,他方は 7 の倍数でない,だから一致しえない」ということでした。 そこで疑問なのは,これは一般の 2 以上の自然数 n について,n! は平方数にならないのか,ということです。 これは,【n/2 から n までの間に素数が必ず存在する】ことが証明できればよくて,実際そうであって,「n! は平方数にならない」は真とのことでした。 ところがこの【 】の部分の証明が,簡単に流されているものが多くて,釈然としません。 この証明の全容がわかる文献か,または証明のポイントをご教示願えますか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ナンバーズ4の各桁の合計数がNのときの組み合わせの数
ナンバーズ4についての質問です。 ナンバーズ4の各桁を合計した値をNとします(0≦N≦36、Nは自然数) ⇒ナンバーズ4は0000~9999の中から数字を選択するため 各桁の合計値がNのときにナンバーズ4の組み合わせは 何パターンあるのか求める方法を教えてください。 例)N=0のときは0000の1パターン N=1のときは0001 0010 0100 1000の4パターン これを上記のようなアナログなやり方ではなく 数式で求めたいのです。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 社会と情報のn進数について
夏休みの宿題です 10進数の29をn進法で表すと45(n)となる。 答 n=6 10進数の107をn進法で表すと153(n)となる。 答 n=8 nの値を求めよ。 nは2以上の自然数とする。 この問題の解き方がわかりません(;_;) 何回解いても答えがあいません どう解いたらいいのでしょうか
- 締切済み
- 高校
- 中三 数学の問題を教えてください
宿題で困ってます。教えてくださいm(__)m nは自然数で 9<n<90 です。 n^2+n と (99-n)^2+(99-n) の下2ケタが同じ数になることを証明せよ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。
高校数学の教科書の数列のところの一番最後の一番難しい章末問題で nを自然数とするとき、n^5/5+n^4/2+n^3/3-n/30が自然数であることを証明せよ。 って問題なんですが、とりあえず数学的帰納法で解くんだろうけど全然解けそうにないです。 月曜日までにやってこないとやばいので、だれか助けてください!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど。 等比級数の和の公式が使えるということに、私は気づきませんでした。 素晴らしいです。 右辺の 10^(n-1)+10^(n-2)+....+10^0 は、各桁に1だけが並んだ数である、ということも簡単に分かるのが良いですね。 ありがとうございました。