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ナンバーズ4の各桁の合計数がNのときの組み合わせの数

ナンバーズ4についての質問です。 ナンバーズ4の各桁を合計した値をNとします(0≦N≦36、Nは自然数)  ⇒ナンバーズ4は0000~9999の中から数字を選択するため 各桁の合計値がNのときにナンバーズ4の組み合わせは 何パターンあるのか求める方法を教えてください。 例)N=0のときは0000の1パターン   N=1のときは0001 0010 0100 1000の4パターン これを上記のようなアナログなやり方ではなく 数式で求めたいのです。 よろしくお願いいたします。

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  • ベストアンサー
  • 20080715
  • ベストアンサー率68% (13/19)
回答No.2

>これを上記のようなアナログなやり方ではなく >数式で求めたいのです。 数式で求めるには、たとえば次のようにやればいいです。 各桁の合計値が N になるようなナンバーズ4の組み合わせ のパターン数をf(N)とすると、f(N)は x の多項式 (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9)^4 の展開式の x^N の係数です。したがって、 f(N)=Σ[k=0,floor(N/10)]((-1)^k)*4*(3+N-10k)!/(k!*(4-k)!*(N-10k)!) となります。 ( floor(a)は a を超えない最大の整数を表します。) たとえば、 f(16)=4*19!/(0!*4!*16!)-4*(9!)/(1!*3!*6!)=633, f(31)=4*34!/(0!*4!*31!)-4*(24!)/(1!*3!*21!)+4*14!/(2!*2!*11!)-4*4!/(3!*1!*1!)=56.

その他の回答 (2)

noname#70958
noname#70958
回答No.3

数式で求める方法は既に出ていますが、 選択肢は高々1万通り、結果はわずか37種類ですから、 実際に調べてみた方が早いようにも思います。 例えばExcelで、  A1: =TEXT(ROW()-1,"0000")  B1: =SUM(INDEX(--MID(A1,{1,2,3,4},1),)) として1万行目までフィルすれば、すべての組み合わせとその場合の和が表示されます。 さらに、  D1: =ROW()-1  E1: =COUNTIF(B:B,D1) として37行目までフィルすれば、和に応じて個数が表示されます。 まぁ、ある意味アナログではありますが。 ---------------------------------------------------------------------- ちなみに、  N= 0 , 36 ⇒   1 パターン  N= 1 , 35 ⇒   4 パターン  N= 2 , 34 ⇒  10 パターン  N= 3 , 33 ⇒  20 パターン  N= 4 , 32 ⇒  35 パターン  N= 5 , 31 ⇒  56 パターン  N= 6 , 30 ⇒  84 パターン  N= 7 , 29 ⇒ 120 パターン  N= 8 , 28 ⇒ 165 パターン  N= 9 , 27 ⇒ 220 パターン  N=10 , 26 ⇒ 282 パターン  N=11 , 25 ⇒ 348 パターン  N=12 , 24 ⇒ 415 パターン  N=13 , 23 ⇒ 480 パターン  N=14 , 22 ⇒ 540 パターン  N=15 , 21 ⇒ 592 パターン  N=16 , 20 ⇒ 633 パターン  N=17 , 19 ⇒ 660 パターン  N=18     ⇒ 670 パターン となります。 以上ご参考まで。

  • blue_rose
  • ベストアンサー率49% (717/1445)
回答No.1

こんにちは A+B+C+D=Nのとき、0≦A,B,C,D≦9、0≦N≦36で、A,B,C,Dの組み合わせをもめるには、アナログであたっていくしかありません。4つの数字が決まっている場合は、組み合わせで考えればよいのですが・・・ A,B.C,Dそれぞれ違う場合は、4! うち2つが同じ場合、4!/2! うち3つが同じ場合、4!/3! 同じ数字が2組ある、4!/(2!*2!)

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