2桁の自然数はいくつあるか

質問

■6で割ると5余り、8で割ると7余るような2桁の自然数はいくつあるか。■という問題について悩んでいます。

解説によると、
6で割ると5余る数は6a+5、8で割ると7余る数は8b+7で表される（a,bは自然数）。
この2つの条件を満たす2桁の自然数Nは、

N=6a+5=8b+7≦99…(1)
(1)の辺々に1を加えると、
N+1=6a+6=8b+8
=6(a+1)=8(b+a)≦100

よって、N+1は、6と8の最小公倍数24の倍数である。
100以下の自然数で、24の倍数であるのは、24、48、72、96であるから、Nは23、47、71、95の4個である。

とのことなのですが、何故(1)の辺々に１を加えたのかが分かりません。
どなたかご教授お願いします。

回答No.3

queuerev2 · ベストアンサー

A,B,C,D,Eを自然数として、Aで割るとB余り、Cで割るとD余る数Eは、そのようなEが1つ存在するならば、結局AとCの最小公倍数の間隔で無限に存在します。（それがなぜかは私のような数学のド素人にはうまく説明できないのですが）
言い換えれば、１つのEと最小公倍数の差がわかれば、無限に存在する他のEもわかるということになります。
そこで、 (AとCの最小公倍数)-E が何かを考えてみると、今回の問題の場合には1であることが簡単にわかる、ということだと思います。

差が1であることが簡単にわからないと仮定して、別解を示します。
（別海になっているかどうかわかりませんが）

N=6a+5=8b+7より、N-5=6a=8b+2。　・・・　式１
（余りのない6aまたは8bのどちらかを得る）
右の統合だけを見ると、6a=8b+2　・・・　式２

N-5は6の倍数であり、8で割ると2余る。余りの2は6と8の最大公約数（である2）の倍数なので、N-5は存在する。

ここで、
6x+8y=2　・・・　式３
となる整数xとyの組み合わせを見つける。
（式３の2は、6と8の最大公約数の2である）
8-6=2なので、明らかに x=-1, y=1、つまり
6×(-1)+8×1=2
という組み合わせがあることがわかる。（明らかでない場合でも「拡張ユークリッドの互除法」という計算法を使うと組み合わせが見つかるらしいです）

式３より6x=-8y+2
これを式２から引くと
6a-6x=8a+8y
ここでx=-1, y=1を代入すると、
6a+6=8a+8
以下は回答者様の提示された解説そのままとなります。
（途中の計算のやり方によっては、6a-18=8b-16 になったりすることもありますが、同様に答えは出ます）

お礼

お礼が遅くなってしまいました。詳しいご回答ありがとうございます。

回答No.2

zuntac

A = B が成り立っている場合に、この式の両辺に同じ操作(計算)をしても = で結ばれた関係はくずれません。
例えば、両辺に同じ数 5を掛けた場合には 5 A = 5 B が成立します。
同様に、両辺に同じ数 1を加えた場合には A + 1 = B + 1 が成立します。
これにより以下が成立します。
N=6a+5=8b+7≦99…(1)
(1)の辺々に1を加えると、
N+1=6a+6=8b+8
=6(a+1)=8(b+1)≦100

ある数は「6で割ると5余る」のであれば、ある数がもう一つ大きければ6で割り切れるので「(ある数+1)は、6で割切れる」ことになります。8の場合にも同様です。「ある数がもう一つ大きい場合に6, かつ8で割り切れる」と読み替えられることに気が付けば、両辺に1を加えるという操作をしようと考え付きます。

回答No.1

asuncion

6(a+1)と8(b+1)を作るためのちょっとした技巧だと思います。