最小公倍数と最大公約数から3つの自然数を求める。

質問

A、B、C・・・の最大公約数を(A、B、C・・・)最小公倍数を[A、B、C・・・]で表します。(例)(4165、6035)=85 [4165、6035]=295715　A、Bが互いに素 (A、B)=1
お願いします。分からないのは最小公倍数から、一方の数を求めるところです。問題は、

0<a<b<cを満たす3個の整数a、b、cがある。次の関係を同時に満たすa、b、cを求めよ。
(1)a、b、cの最大公約数は45である。
(2)bとcの最大公約数は225、最小公倍数は1350である。
(3)aとbの最小公倍数は3150である。

解答　条件(1)より　a=45a'、b=45b'、c=45c'(a'、b'、c'は整数)・・・[1]とおくと、
(a'、b'、c')=1、 0<a'<b'<c'・・・[2]
条件(2)より(b、c)=45(b'、c')=225 ∴(b'、c')=5・・・[3]
[b、c]=45[b'、c']=1350 ∴[b'、c']=30・・・[4]
[3]よりb'=5b''、c'=5c''とおけば　(b''、c'')=1 ・・・[5]　で[4]より 5[b''、c'']=30 ∴
[b''、c'']=6・・・[6]
b<cよりb''<c''これと[5]、[6]より　b''=1、c''=6　または　b''=2、c''=3
(イ)b''=1、c''=6のとき　b=45*5*1=225、 c=45*5*6=1350　条件[3]より
[a、b]=[45a'、225]=45[a'、5]=3150 ∴[a'、5]=70 ここからがわからないところです。∴ a'=14
A、Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとするとAB=GLからa'を導くには(a'、5)=1となると思うのですが、どこから導けるのかわかりません。5=b'として(a'、b'、c')=1から(a'、b')=1は導けないと思います。c'の数によって(a'、b')=1でなくても、
(a'、b'、c')=1　解答は続けて、このときa=45*14=630>225=bとなり不適。
(ロ)b''=2、c''=3のときb=45*5*2=450、c=45*5*3=675　
条件[3]より[a、b]=[45a'、450]=45[a'、10]=3150 ∴[a'、10]=70　∴ a'=7　またb'=10、c'=15だからこれらは[2]の条件を満たしている。a=45*7=315
答え　a=315、b=450、c=675
どなたか　[a'、5]=70　∴ a'=14を解説してくださいお願いします。

回答No.4

jcpmutura · ベストアンサー

(イ)の場合
0<a'<5
だから
70=[a',5]≦5a'<25
となり不適

(ロ)の場合
b"=2
だから
b'=5b"=5*2=10
だから
b'=10

0<a'<b'<c'…[2]
から
0<a'<b'=10
だから
0<a'<10

[a',10]=70
だから
a'は70=2*5*7の約数

a'=2a"となる整数a"があると仮定すると
0<2a"<10
0<a"<5
[a',10]=[2a",10]=2[a",5]=70
35=[a",5]≦5a"<25
となって矛盾するから
(a',2)=1

a'=5a"となる整数a"があると仮定すると
0<5a"<10
0<a"<2
a"=1
a'=5
70=[a',10]=[5,10]=10
となって矛盾するから
(a',5)=1

{(a',2)=1}&{(a',5)=1}
だから
(a',10)=1

∴
a'=7

お礼

a'や70の素因数(約数)に注目すればよいんですね。丁寧な解説ありがとうございます。

回答No.3

jcpmutura

b"=1
だから
b'=5b''=5*1=5
だから
b'=5

0<a'<b'<c'…[2]
から
0<a'<b'=5
だから
0<a'<5
だから
(a',5)=1
だから
a'と5は互いに素です
a'=5a"(a"は整数)は間違いです
∴a'=14も間違いです

0<a'<5
だから
70=[a',5]≦5a'<25
となり不適とすべきです

お礼

a'=1、2、3、4とb'=5から　(a',5)=1を導くのには驚きました。
お返事ありがとうございます。

補足

よろしければお返事ください。回答の考えを解答(ロ)の場合の当てはめてみると、b''=2、 b'=5*2で0<a'<10になり、70=[a'、10]≦10a'<10*10 より、求めるa'の範囲は0<a'<10になりこの範囲で10と最小公倍数
70を作る整数はa'=7と求まるのですが、
A、Bの最大公約数をG、最小公倍数をLとするとAB=GLからa'を導きたい
ので、(a',10)=1を導く方法を教えてくださいませんか。0<a'<10 の範囲では、a'=2、4、5など10と互いに素でない数があります。よろしくお願いします。

回答No.2

info33

>[a'、5]=70　∴ a'=14を解説してください
a'=5a'', b'=5=5b'' ...(#1)
b''=1 ...(#2)
5[a'',b'']=5[a'',1]=70
[a'',1]=14, a''=14 ...(#3)
a'=14 は 0<a'<b'=1, [2]の条件を満たさない。∴a"≠14
(イ)を満たす解答 は存在しないことになります。

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

よかったらお返事ください。
70=2*5*7よりa'=5a''(a''は整数)とおけるであっていますか？
間違っていていたら訂正おねがいします。

回答No.1

asuncion

a'と5は互いに素（∵[1]）で、45[a', 5] = 3150より
[a', 5] = 70であるから5a' = 70よりa' = 14
ということじゃないんでしょうか。

お礼

お返事ありがとうございます。

補足

よかったらお返事ください。
a=45a'、b=45b'、c=45c'(a'、b'、c'は整数)・・・[1]から、a'と5は互いに素があいまいです。aとbの最大公約数が45になるためには、a'とb'=5から共通な約数が出てこないからと考えましたが、a=90、b=180、c=135のとき(90,180,135)=45 a'=2,b'=4と互いに素でなくなります。よって[1]からだけだとa'とb'は互いに素とはいえないとおもったのですが、間違っていたら訂正おねがいします。