３つの自然数の最大公約数と最小公倍数

質問

３つの自然数a, b, c（a<b<c）について、aとbとcの最大公約数が１２、最小公倍数が２１６であるような（a, b, c）の組をすべて求めるには、どのように考えればよいのでしょうか？

回答No.6

info222_ · ベストアンサー

No.2～No.4です。

ANo.4の補足コメントの質問の回答

>(36,108,216)は、本当に最大公約数が12、最小公倍数が216ですか？
失礼しました。

最大公約数が18=2・3・3なので
(a,b,c)=(36,108,216)=36・(1,3,6)=18・(2x,2y,2z)
は2の倍数でなければいけません。4の倍数は除外しないと最大公約数が36と
なってしまいますので、チェックがもれました。
なので、(a,b,c)=(36,108,216)は4で括れるから解からはずす必要がありますね。
したがって、ＡNo.3の15組の(a,b,c)の組から(36,108,216)の組を除いて下さい。
つまり、条件を満たすすべての組は14通りということです。

失礼しました。

お礼

ありがとう

回答No.7

noname#222520

ANo.5の回答者です。

質問者の方に逆にお尋ねしますが、私の回答に基づいて、aとbとcの値を求められましたか？

問題となるのは、「xとyとzが公約数をもつもの」ですね。

・xとyとzが公約数をもつもの
(3,6,9)(3,6,18)(3,9,18)(6,9,18)
全て公約数3だけをもち、aとbとcの最大公約数はいずれも12*3=36

実際に、それぞれの場合について、aとbとcの値を求めてみます。

(3,6,9)
a=12*3=36
b=12*6=12*3*2=36*2=72
c=12*9=12*3*3=36*3=108

(3,6,18)
a=12*3=36
b=12*6=12*3*2=36*2=72
c=12*18=12*3*6=36*6=216

(3,9,18)
a=12*3=36
b=12*9=12*3*3=36*3=108
c=12*18=12**3*6=36*6=216

(6,9,18)
a=12*6=12*3*2=36*2=72
b=12*9=12*3*3=36*3=108
c=12*18=12**3*6=36*6=216

以上から、いずれの場合も、最大公約数は36であることがわかります。

お礼

ありがとう

回答No.5

noname#222520

216/12=18=2*3^2
これから、18の約数は1、2、3、6、9、18の6個になります。
a=12x、b=12y、c=12z（1≦x＜y＜z）とおくと、xとyとzとして考えられる全ての組を示し、不適なものを除くという地道な作業を行います。

xとyとzとして考えられる全ての組の数は6C3=20なので、まずこれを全て示すと次の通りです。
(1,2,3)(1,2,6)(1,2,9)(1,2,18)(1,3,6)(1,3,9)(1,3,18)(1,6,9)(1,6,18)(1,9,18)
(2,3,6)(2,3,9)(2,3,18)(2,6,9)(2,6,18)(2,9,18)(3,6,9)(3,6,18)(3,9,18)(6,9,18)

このうち、xとyとzが公約数をもつものと、xとyとzの最小公倍数が18にならないものを除きます。

・xとyとzが公約数をもつもの
(3,6,9)(3,6,18)(3,9,18)(6,9,18)
全て公約数3だけをもち、aとbとcの最大公約数はいずれも12*3=36

・xとyとzの最小公倍数が18にならないもの
(1,2,3)
最小公倍数は2*3=6なので、aとbとcの最小公倍数は12*6=72
(1,2,6)
最小公倍数は6なので、aとbとcの最小公倍数は12*6=72
(1,3,6)
最小公倍数は6 なので、aとbとcの最小公倍数は12*6=72
(1,3,9)
最小公倍数は9なので、aとbとcの最小公倍数は12*9=108
(2,3,6)
最小公倍数は2*3=6なので、aとbとcの最小公倍数は12*6=72

全20組から以上の9組を除いた残りの11組が答えになります。
なお、aとbとcの計算は省略します。

お礼

ありがとう

補足

11組ですか・・・15組という回答者さんもいらっしゃいますね。
数学の答えは１つに決まると思うのですが、人によって答えが異なるものなのでしょうか？

数学の専門家とまではいかなくとも、数学が得意な方、ご教授のほどよろしくお願い申し上げます。

回答No.4

info222_

No.2,No.3です。

ANo.3の補足コメントについての回答

gcd(a,b,c)=12 ... (1)
lcm(a,b,c)=216=gcd(a,b,c)*18 ...(2)
a=12*x, b=12*y, c=12*z ...(3)
(1<=x<y<z) ...(4)

(1),(2)の関数記号　gcd(・)とlcm(・)はそれぞれ　(・)内の1以上の整数列の最大公約数、最小公倍数を表す関数です。
参考URLのWolframAlphaサイトでこの関数の計算ができますので使ってみて下さい。

>ここら辺を詳しく教えて下さい（特に２行目）。

(1)はa,b,cの最大公約数が12という与えられた条件を式で表しただけです。
(2)はa,b,cの最小公倍数が216という与えられた条件から
lcm(a,b,c)=216
この最小公倍数216はa,b,cのいずれでも割り切れるから、
a,b,cの公約数である最大公約数12で割り切れることになります、
216/12=18
つまり
216=12*18
これを書き直した式が(2)です。
a,b,cの最大公約数が12ですから
a=12x, b=12y, c=12z
(x,y,zは1以上の正整数、つまり自然数),
と置けます。これが式(3)です。

最小公倍数216はa,b,cのいずれの倍数でもあるから
x,y,zは18の約数です。
18=1*2*3*3
なので
この約数は
1,2,3,6,9,18
ですから、これが自然数x,y,zの候補です。
このうち、
1<=x<y<z<=18
を満たす自然数の組(x,y,z)を求めれば
ANo.3で書いた15通りの組となります。

式(3)から自然数(a,b,c)の組が求まります。
この(a,b,c)のすべての組はANo.3で書いた15通りの組になります。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

ありがとう

補足

(36,108,216)は、本当に最大公約数が12、最小公倍数が216ですか？

回答No.3

info222_

No.2です。

ANo.2の2組は、(a,b,c)の組み合わせの1部だけでした。
下記のように、漏れが沢山ありますので訂正させていただきます。

ANo.2の訂正と
ANo.2の補足コメントについて

>（a, b, c）＝（24, 108, 216）も、最大公約数が１２、最小公倍数が２１６ではないのでしょうか？

指摘のとおりです。

>「漏れなく」探すには、どうすればよいのでしょうか・・・

gcd(a,b,c)=12
lcm(a,b,c)=216=gcd(a,b,c)*18
a=12*x, b=12*y, c=12*z (1<=x<y<z)

x,y,zは18=2*3*3の約数なので 1<=x<y<z を満たす(x,y,z)のすべての整数の組を書き下すと

(x,y,z)=(1,2,9),(1,2,18),(1,3,18),(1,6,9),(1,6,18),(1,9,18),
(2,3,9),(2,3,18),(2,6,9),(2,6,18),(2,9,18),
(3,6,9),(3,6,18),(3,9,18),(6,9,18)
の15組。

したがって (a,b,c)=(12x,12y,12z)のすべての組を書き下すと以下のようになる。

(a,b,c)=(12,24,108),(12,24,216),(12,36,216),(12,72,108),(12,72,216),(12,108,216),
(24,36,108),(24,36,216),(24,72,108),(24,72,216),(24,108,216),
(36,72,108),(36,72,216),(36,108,216),(72,108,216)

の15組。

お礼

ありがとう

補足

「gcd(a,b,c)=12
lcm(a,b,c)=216=gcd(a,b,c)*18
a=12*x, b=12*y, c=12*z (1<=x<y<z)」

ここら辺を詳しく教えて下さい（特に２行目）。

回答No.2

info222_

216/12=2*2*3
なので
a=12x, b=12y, c=12z (1<=x<y<z)
とおくと
xyz=2*3*3
となる組み合わせは
(x,y,z)=(1,2,9), (1,3,6)
の2通りだけ。
したがって
(a,b,c)=(12, 24, 108) , (12, 36, 72) の2通り。

お礼

ありがとう

補足

（a, b, c）＝（24, 108, 216）も、最大公約数が１２、最小公倍数が２１６ではないのでしょうか？

「漏れなく」探すには、どうすればよいのでしょうか・・・

回答No.1

trytobe

１２＝２×２×３
２１６＝２×２×２×３×３×３＝２×（２×２×３）×３×３＝２×（１２）×３×３

で、ａ＝１２×ｘ、ｂ＝１２×ｙ、ｃ＝１２×ｚ （１≦ｘ＜ｙ＜ｚ）だから、

あとは、そうなる ｘ，ｙ，ｚ の組み合わせを、２１６の素因数分解で余ってる ２，３，３ の組み合わせから全通り漏れなく作るだけ。

お礼

ありがとう

補足

前半の「ａ＝１２×ｘ、ｂ＝１２×ｙ、ｃ＝１２×ｚ （１≦ｘ＜ｙ＜ｚ）だから」の部分がよく理解できません。

また、そこが理解できたとして、後半の「そうなる ｘ，ｙ，ｚ の組み合わせを、２１６の素因数分解で余ってる ２，３，３ の組み合わせから全通り漏れなく作る」方法は、具体的にはどうやるのでしょうか？