最大公約数と最小公倍数について

質問

学校で先生に
２つの自然数m,nの最大公約数をＧ,最小公倍数をＬ，とすると

m×n＝Ｇ×Ｌ

と教わったのですが…
いまいちわかりません。
何故そうなるのか教えてください！

回答No.3

banakona · ベストアンサー

２つの自然数について考えると、
　ｍ＝ａ・Ｇ　　・・・（１）
　ｎ＝ｂ・Ｇ　　・・・（２）
と表せて、ａとｂは互いに素となります。もし互いに素でなければａ，ｂには２以上の公約数が存在することになり、その公約数をＧに掛けたものもｍ、ｎの公約数。これはＧより大きくなります。これはＧが「最大」公約数であることと矛盾します。よってａ，ｂは互いに素。

ｍ、ｎを掛けたものｍｎは、明らかにｍとｎの公倍数ですが、これを「最小」にするには、ｍに掛ける数（またはｎに掛ける数）をできるだけ小さくする必要があります。

ためしにｍにｂを掛けたものは、（１）によりａ・ｂ・Ｇとなり、これはｂ・Ｇ（＝ｎ）のａ倍なので、ｍ、ｎの公倍数。

仮に、ｂよりも小さな自然数ｐをｍに掛けてｎの倍数になるとすると、
　ａ・Ｇ・ｐ＝ｂ・Ｇ・ｋ　（ｋは自然数）
　　ａ・ｐ＝ｂ・ｋ　　・・・（３）
ａ、ｂは互いに素だから、ｐがｂの倍数（ただし０は除く）でないと（３）は成立しない。ところが「ｐはｂの倍数」は「ｐはｂよりも小さい」と矛盾する。
以上からｐ＝ｂのときにｍ、ｎの公倍数は最小となる。
　∴Ｌ＝ａ・ｂ・Ｇ　　・・・（４）
（１）（２）（４）から
　　m・n＝Ｇ・Ｌ

回答No.2

tonsaku

最大公約数がをＧとすると、
　m = p * G
　n = q * G　　（ただし、pとqはたがいに素）
とおけます。

すると、mとnの最小公倍数を求めると、
　　　G )　m　n
　　　　 ---------
　　　　　　p　q
となりますから
　L = G * p * q
　　= ( m * n　) / G

よって、m * n = G * L になります。

回答No.1

Lokapala

ｍ＝Ｇ×a 、ｎ＝Ｇ×ｂ（a,bは定数）と表わすことができます。
このとき、Ｌ＝Ｇ×a×b　となります。

ｍ×ｎ＝（Ｇ×a）×（Ｇ×ｂ）＝Ｇ×Ｇ×a×ｂ＝Ｇ×（Ｇ×a×ｂ）＝Ｇ×Ｌ