n！≦{(n+1)/2}^n

質問

nは自然数とする。
n！≦{(n+1)/2}^n
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

n=1 1!=1={(1+1)/2}^1
n-1のとき (n-1)!<= (n/2)^{n-1}と仮定

n! = (n-1)! n
<= (n/2)^{n-1} n
= (n/2)^{n-1} 2(n/2)
= 2(n/2)^n

((n+1)/2)^n / 2(n/2)^n
=
(1/2) ((n+1)/n)^n
=
(1/2) (1+(1/n))^n

(1+(1/n))^n を二項定理で展開すると
(1+(1/n)^n > 2 であることがわかるので

((n+1)/2)^n / 2(n/2)^n > 1

つまり

2(n/2)^n < ((n+1)/2)^n

よって証明できた．

お礼

よくわかりました。まことにありがとうございます。

回答No.2

ringohatimitu

相加相乗平均でも示せますね。
(1*2*...*n)^{1/n} ≦ (1+2+...+n)/n=(n+1)/2

お礼

ありがとうございます。これも相加相乗で解けるとは気づきませんでした。