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n！≦{(n+1)/2}^n
nは自然数とする。 n！≦{(n+1)/2}^n の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。
- katadanaoki
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n=1 1!=1={(1+1)/2}^1 n-1のとき (n-1)!<= (n/2)^{n-1}と仮定 n! = (n-1)! n <= (n/2)^{n-1} n = (n/2)^{n-1} 2(n/2) = 2(n/2)^n ((n+1)/2)^n / 2(n/2)^n = (1/2) ((n+1)/n)^n = (1/2) (1+(1/n))^n (1+(1/n))^n を二項定理で展開すると (1+(1/n)^n > 2 であることがわかるので ((n+1)/2)^n / 2(n/2)^n > 1 つまり 2(n/2)^n < ((n+1)/2)^n よって証明できた．
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- ringohatimitu
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相加相乗平均でも示せますね。 (1*2*...*n)^{1/n} ≦ (1+2+...+n)/n=(n+1)/2
お礼
ありがとうございます。これも相加相乗で解けるとは気づきませんでした。
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お礼
よくわかりました。まことにありがとうございます。