数と式

質問

２桁の自然数でその２乗した数の下２桁がもとの２桁の自然数に一致するものがある。
このような２桁の自然数を求める問題で

２桁の自然数10x＋yとおくと
２乗すると
(10x＋y)＾2=100(x＾2)＋10・2xy＋y＾2

となって
y=1のとき(y＾2)=1
y=5のとき(y＾2)=25
Y=6のとき(y＾2)=36
でy=1,5,6の場合を考えればいいのですが
基礎の合同式しか理解できないためどのように表すがわかりません
おねがいします

回答No.4

eatern27

boku115さんは、一の位が等しい、という条件から、y=1,5,6のどれかだ、という事を求めました。

なので、#1～#3のgamasanさんは、
y=1,5,6のそれぞれについて、十の位が等しい、という条件から、xを決定しよう、という事をやろうとしているのです。

y=1の時、
10x+y=10x+1の十の位はx。
20xy+y^2=20x+1の十の位は、20xの十の位、つまり、2xの一の位に等しいです。
1≦x≦9より、2≦2x≦18です。
2x≦9の時は、2xの一の位は2x自身なので
x=2xより、x=0となり、10x+yが二桁である事に矛盾します。
10≦2x≦19の時は、2xの一の位は、2x-10ですので、
x=2x-10より、x=10。5≦x≦9を満たしていないので、不適です。

y=5の時、
10x+yの十の位はx。
20xy+y^2=100x+25の十の位は2
x=2となります。

y=6の時も同じようにやれば解けるので、練習問題(?)として残しておきます。

ところで、参考程度ですが、
２桁の自然数をＮとすると、
Ｎ^2-Ｎ＝Ｎ(Ｎ-1)が100の倍数である、という事"など"を考慮すると、
Ｎ、Ｎ－１の一方が25の倍数、他方が4の倍数である事が分かります。
Ｎが二桁で、"一方が25の倍数"という事から、Ｎの候補は僅か6つに絞れ、さらに"他方が4の倍数"という事から、Ｎ＝25,76と求める事もできます。

これと同じようにやれば、最初に書いたやり方でも、
y=1の時は、2x-x=xが十の倍数から不適。
y=5の時は、2-xが十の倍数よりx=2。
y=6の時は、・・・。(練習問題(?)として残しておきます)
のように解くこともできますね。

回答No.3

gamasan

yが1のとき
2ｘがｘと等しくなるのは　ｘが0のときしかないってことが
いいたかったのですよ
ｘが0　ｙが1のとき
1＾2＝1でしょ　２乗しても同じ数ですが
２桁の自然数という前提に合わないからダメ
01という数字を２桁とは言わないという意味です

これにて最終回答にします

補足

いろいろとどうもありがとうございました
まだ、合同式についてよくわかりませんが最終ですね
どうもありがとうございました
他者の回答を待ちます

理解できなくてすいませんでした

回答No.2

gamasan

ｙ＝5　のとき　10ｘ＋2　の下一桁は常に２になる
↑これは理解できますよね？

12ｘ＋3＝10ｘ＋2ｘ＋3　でしょ
別に12ｘ＋3のままでもいいのですが　不必要ですから
消しただけです
ｘに7を代入すると　84＋3で87ですから

ｘが自然数なら10ｘの答えの下一桁は常に0ですから

補足

似たような質問ばかりですいません
混乱してきました
まず
y=1のとき
2ｘ＝ｘ　ｘ＝0はどうしてでるのですか？

2xyにｘ＝１を代入すると2xになりますが
なぜ、２ｘ＝ｘなのですか？
そして
なぜ０になるのですか？

回答No.1

gamasan

前提に　ｙは0～9の自然数　ｘは1～9の自然数

(10x＋y)＾2=100(x＾2)＋10・2xy＋y＾2

100(x＾2)の部分は100倍してますから下2桁に
影響しないから無視できます

あとは3つの場合の10の位を考えるだけです
2ｘｙの部分の下一桁を考えます

y=1のとき
2ｘ＝ｘ　ｘ＝0　前提と合いません×です
2ｘが10未満の時　つまり4以下で上の式が
成り立たないとだめですよね
5～9の場合も同じにはなりません

y=5のとき
10ｘ＋2　の下1桁は常に2です　そう　ｘが2が答えです　
Y=6のとき
12ｘ＋3
このうち　10ｘというのは下１桁に影響しませんから
2ｘ＋3　ｘが7のとき　17で条件に合います

検算　25＾2＝625　76＾2＝5776

補足

こんにちわ
＜Y=6のとき
12ｘ＋3
このうち　10ｘというのは下１桁に影響しませんから
2ｘ＋3
の部分がよくわかりません
12x＋3まではわかったのですが