ロピタルの証明

質問

以前にも質問させていただきました。
http://okwave.jp/qa3531336.html

上で一番上の解答を下さった方の照明方法は非常に優れていると思いましたが、本当にこれで証明したことになるのでしょうか。

お願いします。

回答No.6

rabbit_cat · ベストアンサー

＞＃４の補足
＃５の方の通り。あれで証明したことになっているのは、ロピタルよりも弱い別の定理です。

ロピタルの定理は、ちゃんと書けば、
f(a)=g(a)=0、かつ、lim [f'(x)/g'(x)] が存在するなら、
f(x)/g(x) の極限も存在して、
lim [f(x)/g(x) ] = lim [f'(x)/g'(x)]
て定理です。

あれで証明したのは、
f(a)=g(a)=0、かつ、lim f'(x) と lim g'(x) の極限が存在して、
さらに、lim g'(x) ≠ 0 であれば、
f(x)/g(x) の極限も存在して、
lim [f(x)/g(x) ] = lim f'(x) / lim g'(x)
という定理です。

ここで、右辺
[ lim_{x→a} f'(x) ] / [ lim_{x→a} g'(x) ]
の分子分母の lim f'(x) と lim g'(x) に出てくる２つのxは完全に無関係なので、
[ lim_{x→a} f'(x) ] / [ lim_{y→a} g'(y) ]
と一方をyに書き換えてもＯＫです。
つまり、分子と分母の変数がaに近づく速さが全然違ってもＯＫってっことです。

上の２つの定理の違いがわかりますか？
高校生だと収束の概念（そもそも数列が収束するとはどういうことなのか）をちゃんと習わないので、なかなか理解するのが大変だとは思いますが。
詳しくは、無事大学に受かってε-δ論法を習ってからちゃんと考えてください。

お礼

ありがとうございました。大学に入ってから勉強します。

回答No.5

nakaizu

御質問のページで証明されているのはロピタルの定理と似ているけど別の定理です。証明はそのページに書かれている通りでロピタルの定理の代わりに使えることが多いということです。
ロピタルの定理とは

関数 f(x), g(x) がx=a の近くで連続で(x=aでも連続)
x≠a で微分可能( x=a では微分可能でも不可能でもよい)
f(a)=g(a)=0で
lim(x→a)f'(x)/g'(x) が存在するとき
lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)

というものでここで証明されているのは

f(x), g(x) がx=a で微分可能で
f(a)=g(a)=0, かつg'(a)≠0のとき
lim(x→a)f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a)

という定理です。多くの場合、ロピタルの定理の代わりに使うことができますが、g'(a)=0のときなどはこの定理は使えないので、そのときは本家のロピタルの定理を使う必要があるということです。

回答No.4

rabbit_cat

そこにも書きましたが、
１回微分しただけで不定形でなくなる場合、であれば、あれでＯＫですよ。x-a≠0ですから、当然割ってもＯＫです。
f(x)、g(x)の極限がともに収束して、
lim f(x) = f
lim g(x) = g
のとき、f(x)/g(x) も収束して、その極限値は、
lim f(x)/g(x) = f/g
になるていう定理は、たしか高校の教科書にも出てると思う。

ただし、１回微分してもまだ不定形な場合には、あれでは証明したことになってません。
（平均値の定理を使う証明なら、何回も微分する場合もちゃんと考慮されているわけですが）

補足

ありがとうございます。解答に使おうと思います。x-a≠0というのはゼロに近いが、微妙に違うと言うことですよね。

あと、2回微分のときにはつかえないとのことですが、1回微分した関数をh(x)などとおいてh'(x)を求める、つまり、微分していない関数とみなし、それ以前にロピタルを使ったことは考えない、とすると何回でも使えるのではないでしょうか。

回答No.3

joggingman

前にも答えた者ですが、
下のサイトの証明と比較するとわかると思いますが、
http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm

lim[x→+a] のとき、(x-a)　という無限小で分母分子を
割っている点が、不安を感じる点です。

大学入試で答案に書いたとき、どう評価されるかは、
ちょっとわからないですね。
いいセンスしているとして、○をくれるかもしれませんし。

回答No.2

peeea

あと，↓も参考になると思います

http://okwave.jp/qa3162037.html
http://okwave.jp/qa2316395.html
http://okwave.jp/qa1488027.html

（このページの下部にある関連Q&Aより）

回答No.1

peeea

http://okwave.jp/qa2992346.html
でどうでしょうか．

ただ，一度回答してもらった内容を
他の人に採点させるような真似はあまり好ましく思いませんでした．