M,Nを部分空間とする時,双対空間(M+N)*や(M∩N)*は夫々どのように表せれるか?

質問

宜しくお願い致します。

Wを体F上の線形空間Vの部分空間で
W*:={f;fはVからFへの線形写像,f(W)={0}}(0はFの零元)
と定義する事にする。
M,NがVの部分空間の時、(M+N)*や(M∩N)*は夫々どのように表せれるか?
(因みに,M+N:={m+n;m∈M,n∈N}の意味です)

という問題なのですが夫々どのように表せますでしょうか?

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

(M+N)*だけ、(M∩N)*はまあ自分で考えてください。
f∈M*
g∈N*
のとき、
h : (M+N) |→ V
h(m+n) = f(m) + g(n)
みたいな定義できればhは、(M+N)*の元になりそうですね。
あとは、
・このhの定義がwell-definedなこと。（Vの線形性、M,Nが線形部分空間なことを使う）
・(M+N)*の元がこの形しかありえないこと。(M*、N*の線形性を使うのかな）
を言えばいいです。

お礼

ご回答有難うございます。

> (M+N)*だけ、(M∩N)*はまあ自分で考えてください。
> ：
> を言えばいいです。

簡単に言えば
(M+N)*=M*+N*
と表せるという意味でしょうか?