「V=M(+)N且つV=M(+)WならばN=W ((+)は直和記号)」は偽?

質問

宜しくお願い致します。

[問]Vを有限次元実線形空間とし、M,N,Wをその部分空間とする。
「V=M(+)N且つV=M(+)WならばN=W ((+)は直和記号)」は偽みたいなのですが
何故なのなのでしょう?
反例は何がありますでしょうか?

回答No.2

koko_u_

>2次元線形空間R^2で考えてみました。
直和の概念自体がわかっていないことが分かりました。

>W=span{t(1,1),t(0,1)}
W = V (=R^2) でしょう？
だとすると M としては {0} しかあり得なくなり失敗しています。

お礼

有難うございます。

V=R^2,M=R×{0},N={0}×R,W={(w,w);w∈R}
という例がありました。

回答No.1

koko_u_

テキトウに 2次元くらいで考えればほとんど自明だと思いますけど。

お礼

例えば2次元線形空間R^2で考えてみました。

M=span{t(1,0)}
N=span{t(0,1)}
W=span{t(1,1),t(0,1)}

ではN≠Wですが
V=M(+)Wとはなりません。
(∵t(2,3)は2t(1,0)+0t(1,1)+3t(0,1)
とt(1,0)+t(1,1)+2t(0,1)
と二通りに表せられるので直和になりません)

うーん,この例は失敗ですね。
どのような例が挙げられますでしょうか?