非斉次な1階線型微分方程式の質問です。

質問

はじめまして、どうしても分からないので質問させてもらいます。

1.dx/dt + x = e^t
2.dx/dt + x*sint = sint
3.dx/dt + x/t = 1

(1)はx(t)=(e^(t) + 2C*e^(-t)) /2
(3)はx(t)=t+C*e^(-log[t])
と答えはでたのですが(2)がどうしても分かりません。
周りに分かる人もいないので分かる方がいらっしゃれば教えてくださいm(_ _)m

回答No.4

ka1234 · ベストアンサー

こんにちは。
＞2.dx/dt + xsint＝ sint　がどうしても分かりません。

何通りか解を示してみましょう。分かりやすいのをどうぞ。
１階線型非斉次常微分方程式の解法

[解１]　標準的で、絶対に覚えなければならない解法です。
x'(t)+P(t)x＝Q(t)の解は、
公式x(t)＝exp(-∫P(t)dt)(∫Q(t)exp(∫P(t)dt)dt+C)であるから、

x(t)＝exp(-∫sintdt)(∫sintexp(∫sintdt)dt+C)
　　＝exp(cost)(∫sintexp(-cost)dt+C)
　　＝exp(cost)(exp(-cost)+C)
　　＝Cexp(cost)+1（Cは定数）（答え）

[解２]　x'(t)+P(t)x＝Q(t)の両辺に、exp(∫P(t))を掛けると一発です。
これがお勧めです。
x'(t)+xsint＝sint　の両辺に、exp(-cost)をかけると、
x'(t)exp(-cost)+xsintexp(-cost)＝sintexp(-cost)
⇔　(x(t)exp(-cost))'＝(exp(-cost))'

両辺を積分すると、x(t)exp(-cost)＝exp(-cost)+C
∴x(t)＝Cexp(cost)+1（Cは定数）（答え）

[解３]　変数分離形になります。
x'(t)+xsint＝sint ⇔　dx/dt＝(1-x)sint
従って、dx/(x-1)＝-sintdtとなり、log|x-1|＝cost+D（Dは定数）
|x-1|＝exp(cost+D)、∴x＝Cexp(cost)+1（Cは定数）

[解４]定数変化法というのもあります。（すみません。省略します）

お礼

１階線型非斉次常微分方程式の解法がこんなにあるなんて知りませんでした。
変数分離形のが一番理解できたのでこれを参考にします。
ありがとうございました。

回答No.3

info22

>(1)はx(t)=(e^(t) + 2C*e^(-t)) /2
OKですが、Cは積分定数ですから
x(t)=(e^(t) + C*e^(-t)) /2
とするか
x(t)=(1/2)e^(t) + C*e^(-t)
とするのがベター。
普通は
x(t)=(1/2)e^(t) + C*e^(-t)
と書いた方が良いかと思います。

>(2)がどうしても分かりません。
dx/dt + x*sin(t) = sin(t)
dx/dt = -x*sin(t) + sin(t)
dx/dt =-(x-1)sin(t)
dx/(x-1)=sin(t) dt
変数分離型となります。
両辺積分すれば解けますよ。

>(3)はx(t)=t+C*e^(-log[t])
間違っていないですか？
答は
x(t)=(t/2)+C*e^(-log[t])
となりませんか？

お礼

詳しくすべての問題に対し解説ありがとうございました。

>(3)はx(t)=t+C*e^(-log[t])
間違っていないですか？
答は
x(t)=(t/2)+C*e^(-log[t])
となりませんか？

どう計算しても上の答えになりました。もう一度計算してみます。

回答No.2

fuuraibou0

(1) ｘ＝e^(-∫dt){∫e^(t)*e^(∫dt)dt＋Ｃ}＝e^(-t){∫e^(t)*e^(t)*dt＋Ｃ}
＝e^(-t){∫e^(2t)*dt＋Ｃ}＝e^(-t){e^(2t)/２＋Ｃ}＝e^(t)/２＋Ｃ*e^(-t)

(2)　－∫－１*dx/(１－ｘ)＝∫sin t*dt＋Ａ
－log(１－ｘ)＝－cos t－Ｂ　　（ただし、Ｂ＝－Ａ）
∴　e^(cos t-B)＝１－ｘ
ｘ＝Ｃ*e^(cos t)＋１　　　{ただし、Ｃ＝－e^(-B)}

(3)　ｘ＝e^(-∫dt/t){∫1*e^(∫dt/t)dt＋Ａ}＝e^(-log t){∫e^(log t)*dt＋Ａ}
＝e^{log t^(-1)}{∫t*dt＋Ａ}＝t^(-1){t^2/２＋Ａ}
＝t/２+Ａ/t＝(t^2＋Ｂ)/２t　　　（ただし、Ｂ＝２Ａ）

お礼

細かい式までありがとうございました。

回答No.1

stomachman

sin(t)で括るだけ。

お礼

早い回答ありがとうございました