内積の最大最小です

質問

点Ｐが点Ａ（1,2）を中心とする半径1の円周上を動くときの内積OA・OPの最大値と最小値を求めよ。という問題なのですが、最大となる点ＰはOAの延長線と円との交点であるとわかったのですが、最小となる点ＰもOAと円とのもうひとつの交点でいいのでしょうか。

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

それでいいと思いますよ。
点P(x,y)として、OA・OP=x+2y　x+2y=kとして、y=-x/2+k/2
あとは、グラフを使って考えればいけると思います。

お礼

解答ありがとうございます。案外簡単なやり方で解けるもんですね。僕はベクトルという観点で問題を考えていたので苦労しました。内積の問題はあらゆる考え方ができることがわかりました。

回答No.2

Tacosan

まじめにやるなら:
P(x, y) とおくと (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1.
OP・OA = x + 2y = k とおいて, この k の値の範囲を求めます. 最大と最小の k に対して連立方程式を解けば OK.
手を抜くなら:
OP・OA = |OP| |OA| cos θ (θ は OP と OA のなす角) = |OA| × |OP|cos θ
で |OP|cos θは「OP を OA に射影したときの長さ」だから, (考えている状況から) P が OA 上にあるときに最大または最小になります.

お礼

解答ありがとうございます。このような問題はたくさんの別解があるんですね。どのやり方でも同じ答えが出ました。内積だからといってベクトルで解こうとはせずいろんな視点で問題をながめることが重要なんですね。