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接点の存在範囲と内積の最大最小

xy平面上の3点O(0,0)、A(6,2)、B(1,3)に対して、 点CをOC=sOA+tOB(ベクトル)で定める。 (1)s、tがs+t=1の条件を満たしながら、変化するとき、 Cの描く図形は傾き[ア]の直線であり、x軸と([イ]、0)で交わる。 (2)s、tがs≧0、t≧0、0≦s+t≦1の条件をみたしながら変化するとき、 Cの存在する範囲の領域の面積は[ウ]である。 (3)s、t、がs≧0、t≧0、1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するとき Cの存在す領域をFとする。 OC=2s・(1/2)OA+tOB(ベクトル)より、Fに属する点のうち y座標が最大となる点は([エ]、[オ])であり、 y座標が最小となる点は([カ]、[キ])である。 Fの面積は[ク]である。 (4)Fに属する2点P、Q(P=Qでもよい)について、 内積OP・OQ(ベクトル)の最大値は[ケ]、最小値は[コ]である。 問題がかなり長くて申し訳ないです・・・ 最後の問題が難しいらしいです。 (1)(2)の問題を記述で書くとき どのようにあらわしたらよいでしょうか? 解けるかたがいらっしゃいましたら 解説お願いしますm(__)m

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  • suko22
  • ベストアンサー率69% (325/469)

#2です。 ------------------ 最初にANo.2の補足のところを訂正します。また計算ミスしてました。すみません。 ※i s+t=1、s≧0なら、 OC=sOA+tOB=sOA+(1-s)OB=OB+sBAから点Cは半直線BA上の点になります。 (訂正箇所:AB→BAとしました)  ii s+t=1、t≧0なら、 OC=(1-t)OA+tOB=OA+tABから点Cは半直線AB上の点になります。 (訂正箇所:BA→ABとしました)  iii s+t=1、s≧0かつt≧0なら、  s=1-t≧0からt≦1となり、0≦t≦1となるので、点Cは線分ABの内分点とみなせ、点Cは線分AB上の点となることがわかります。 s+t=2とかs+t/2=2になっても考え方はまったく同じ。 このあたりのことはわかれば簡単なのでしっかり整理して実践で使えるようにしておくとよいと思います。 ------------------- (3)以降の回答です。 s≧0、t≧0、2s+t=1のとき、 OC=2s*1/2OA+tOBと変形し、OA’=1/2OAとすると、 OC=2sOA’+tOB よって、点Cは線分A’B上の任意の点であることがわかります。 s≧0、t≧0、2s+t=2のとき、s+t/2=1とし、 OC=sOA+t/2*2OBより、OB’=2OBとおくと、 OC=sOA+t/2OB’ よって、点Cは線分AB’上の任意の点であることがわかります。 ゆえに、s≧0、t≧0、1≦2s+t≦2における点Cの動く領域は四角形AA’BB’の内部(境界線上含む)になります。 四角形AA’BB’=△OAB’-△OA’B=1/2|6*6-2*2|-1/2|3*3-1*1|=16-4=12 y座標が最大になるのは点B’(2,6) y座標が最小になるのは点A’(3,1) この辺は図を書きながら進めていってください。 (4)OP・OQ=|OP||OQ|cosθ≦|OP||OQ|  |OP|と|OQ|が最大値をとる時内積も最大値をとる。  この値が最大になるのは点Pと点Qが点B’または点Aと等しいときであるから、  |OP|=|OA|=√(6^2+2^2)=√40  同様に|OQ|=|OA|=√40  よって、OP・OQ=√40*√40=40(最大値) 最小値は導出に少し工夫がいります。図形的に考えれば、点A’と点Bがそれぞれ点Pまたは点Qであれば最小とわかりますが、ここでは内積の成分計算で考えてみます。 OP・OQが最小になるのは点Pと点Qが線分A’B上にあるとき。どこにあるときかがはっきりしないので、 点Pが線分A’Bをu:1-uに内分する(0≦u≦1) 点Qが線分A’Bをv:1-vに内分する(0≦v≦1)点であるとすると、 OP=(1-u)OA’+uOB=(3-2u,1-2u) OQ=(1-v)OA’+vOB=(3-2v,1-2v) OP・OQ=(3-2u)(3-2v)+(1-2u)(1-2v)=9-2u-2v+4uv+1-2u-2v+4uv=10-4u-4v+8uv =10+8(uv-1/2u-1/2v)=8+8(u-1/2)(v-1/2) ここでuとvは独立に0≦u≦1、0≦v≦1を動くことから、u=0,v=1またはu=1,v=0のときこの値は最小になることがわかる。 よって、OP・OQ=8+8*(-1/2)*(1/2)=8-2=6 計算は自分で確認してください。

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質問者からのお礼

学校でやったやり方でといてあって わかりやすくてとても助かりました^^* ありがとうございました♪

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • suko22
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ベクトル省略します。 (1)s+t=1を満たすとき、点Cの描く図形は直線ABとなる。  直線ABは点A(6,2)、点B(1,3)を通るから、傾きは(3-2)/(1-6)=-1/5  直線の方程式はy-3=-1/5(x-1)  x軸との交点を求めるためにy=0を代入すると、x=16  (2)0≦s+t≦1かつs≧0かつt≧0を満たすとき、点Cは△OABの内部に存在する(境界線上を含む)。△ABC=1/2|6*3-2*1|=8 ※公式を忘れてしまっていたら、この程度の問題なら図を書いて3点を長方形で囲って、3つの直角三角形を引くという中学レベルの知識を使って解いてもいいです。 ※i s+t=1、s≧0なら、 OC=sOA+tOB=sOA+(1-s)OB=OB+sABから点Cは半直線AB上の点になります。  ii s+t=1、t≧0なら、 OC=(1-t)OA+tOB=OA+tBAから点Cは半直線BA上の点になります。  iii s+t=1、s≧0かつt≧0なら、  s=1-t≧0からt≦1となり、0≦t≦1となるので、点Cは線分ABの内分点とみなせ、点Cは線分AB上の点となることがわかります。 s+t=2とかs+t/2=2になっても考え方はまったく同じ。 このあたりのことはわかれば簡単なのでしっかり整理して実践で使えるようにしておくとよいと思います。 (3)以降は時間があったら回答しますね。

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  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

>xy平面上の3点O(0,0)、A(6,2)、B(1,3)に対して、 > 点CをOC=sOA+tOB(ベクトル)で定める。 OA=(6,2),OB=(1,3) OC=s(6,2)+t(1,3)=(6s+t,2s+3t) x=6s+t,y=2s+3tとおく。 連立方程式として、s,tについて解くと、 s=(3/16)x-(1/16)y, t=-(1/8)x+(3/8)y ……(*) >(1)s、tがs+t=1の条件を満たしながら、変化するとき、 > Cの描く図形は傾き[ア]の直線であり、x軸と([イ]、0)で交わる。 (*)より、s+t=(1/16)x+(5/16)y=1 だから、 直線の式は、y=-(1/5)x+16/5 よって、傾き=-1/5 ……ア 直線の式で、y=0とおくと、(1/5)x=16/5より、x=16 よって、x軸と(16,0)で交わる。 ……イは16 >(2)s、tがs≧0、t≧0、0≦s+t≦1の条件をみたしながら変化するとき、 > Cの存在する範囲の領域の面積は[ウ]である。 (*)より、s=(3/16)x-(1/16)y≧0だから、y≦3x……(1) t=-(1/8)x+(3/8)y≧0だから、y≧(1/3)x ……(2) s+t=(1/16)x+(5/16)yだから、0≦(1/16)x+(5/16)y≦1より、 y≧-(1/5)x ……(3), y≦-(1/5)x+16/5  ……(4) (1)~(4)の不等式の共通領域は、△OABの周と内部 △OABの面積=長方形-3つの直角三角形(図を描いてください。) =3×6-(1/2)×1×3-(1/2)×6×2-(1/2)×(6-1)×(3-2) =8 ……ウ >(3)s、t、がs≧0、t≧0、1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するとき > Cの存在す領域をFとする。 > OC=2s・(1/2)OA+tOB(ベクトル)より、Fに属する点のうち > y座標が最大となる点は([エ]、[オ])であり、 > y座標が最小となる点は([カ]、[キ])である。 > Fの面積は[ク]である。 (1/2)OA=(6/2、2/2)=(3,1) OC=2s(3,1)+t(1,3)=(3・2s+t,2s+3t) x=3・2s+t,y=2s+3tとおく。 連立方程式として、2s,tについて解くと、 2s=(3/8)x-(1/8)y, s=(3/16)x-(1/16)y, t=-(1/8)x+(3/8)y だから、(*)と同じ s≧0、t≧0より、y≦3x……(1), y≧(1/3)x ……(2) 2s+t=(1/4)x+(1/4)yだから、1≦(1/4)x+(1/4)y≦2より、 y≧-x+4 ……(5), y≦-x+8 ……(6) (1)(2)(5)(6)の不等式の共通領域がF(図を描いてください。) y=(1/3)xとy=-x+4の交点をC,y=3xとy=-x+8の交点をDとすると、 C(3,1),D(2,6) で、Fは台形ACBDの周と内部です。 よって、 y座標が最大となる点は、D(2,6) ……エは2,オは6 y座標が最小となる点は、C(3,1) ……カは3,キは1 Fの面積=△OAD-△OCB |OB|=|OC|=√(1^2+3^2)=√10 |OA|=|OD|=√(6^2+2^2)=√40=2√10 |BC|=√{(3-1)^2+(1-3)^2}=√8=2√2 余弦定理より、 cos∠DOA=cos∠BOC=(OB^2+OC^2-BC^2)/2・OB・OC =(10+10-8)/2・√10・√10 =12/20 =3/5より、 sin∠DOA=sin∠BOC=√{1-(3/5)^2}=√(16/25)=4/5  △OAD=(1/2)・OA・OD・sin∠DOA=(1/2)・2√10・2√10・(4/5)=16 △OBC=(1/2)・OB・OC・sin∠BOC=(1/2)・√10・√10・(4/5)=4 よって、Fの面積=16-4=12 ……ク >(4)Fに属する2点P、Q(P=Qでもよい)について、 > 内積OP・OQ(ベクトル)の最大値は[ケ]、最小値は[コ]である。 OP・OQ=|OP|・|OQ|・cos∠POQ だから、 ∠POQ=0°で、|OP|・|OQ|が最大のとき、最大値 ∠POQが最大で、|OP|・|OQ|が最小のとき、最小値 をとる。 最大になるのは、PとQが一致して、それがAかDのとき、 cos∠POQ=1,|OP|=|OQ|=2√10だから、 OP・OQ=2√10・2√10・1=40 ……ケ 最小になるのは、PとQがBとC(またはCとB)に対応するとき、 cos∠BOC=3/5,|OP|=|OQ|=√10だから、 OP・OQ=√10・√10・(3/5)=6 ……コ でどうでしょうか? グラフを描いて考えてみてください。

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質問者からのお礼

新たな解き方を学べて、嬉しいです^^ ありがとうございました^^*

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