a^0=a^(1-1)=a^1*a^(-1)=a*(1/a)=1の証明の間違っていますが、どこ(何が)間違っているか、わかりやすく説明して下さい。

質問

「aの0乗=1」は定義なので証明できませんが、上記のように証明する事ができないのは、どこが間違っているからですか？

回答No.10

ka1234

＞ｒ＝0 でないのであれば、指数が 0 になる事はないので
a^0が出てくる事はないので、a^0＝1というルールは必要ないのではないですか？

必要あります。
a^r×a^s ＝ a^(r+s)　においてr=1, s=0 を代入すると
a^1×a^0＝a^(1+0)＝a^1　すなわち　a×a^0＝a
ここで、指数法則が成立するためには、a^0＝1 となることが必要である。
となります。分からなかったら遠慮しないで質問して下さって結構です。

追記。tinantum さんの発言が論理的に微妙なので・・・
> (1)(2)(3)の順番で拡張するとそうなるが、(1)(3)(2)ならばいいのではないか（どれを定義とし、どれをそれから導かれる定理とするか、という問題）と考えていらっしゃる方もおられるようですが、それでもだめだと思います。

まずここですが、私は(1)(2)(3)を(1)(3)(2)と言い換えてもだめではないかといっているのであって、いきなり

＞正値実連続関数でa^1=a,a^{r+s}=a^r a^s (a:非負整数）として定義する方法もあります．

などという定義を持ち出しても無意味です。
なぜならば、 dream-team さんはその定義を使用していないので、
質問と無関係だからです。

更に、私は、
＞同値な命題で、どれを出発点にしてもよい場合もあります

と言っています。指数関数の定義に何通りもあるのは知っています。
指数を複素数や行列に拡張するのに、私はべき級数展開で定義するのが便利だと
思っています。

しかしここで私は反論をしたいのではありません。上記のように、
別の定義を持ち出した場合は、定義と定理が入れ替わるのを認めています。つまり、
「A(この場)ではその論法は無理だと思います。B(別の定義を採用する)ならば
大丈夫かもしれませんが」と私は言っているのに、
「Bなら大丈夫なので、あなたの指摘は間違っています」と言われても、
「結局言ってる内容は私と同じじゃないのかなあ」という感じです。

＞後者の定義では，dream-teamさんの証明はあっていますよ．
これ無責任過ぎ。そんな定義使ってないんだから。

もし引用なさるなら、文章はきちんと読んでからお願いいたします。
私としても建設的な議論はしたいと思っております。
（と怒ったような文章ですが、できればお許し下さい。
tinantum さん、dream-team さん、どうもすみません）