a^0=a^(1-1)=a^1*a^(-1)=a*(1/a)=1の証明の間違っていますが、どこ(何が)間違っているか、わかりやすく説明して下さい。

質問

「aの0乗=1」は定義なので証明できませんが、上記のように証明する事ができないのは、どこが間違っているからですか？

回答No.4

kabaokaba

>a^r a^s = a^{r+s}
>(a^r)^s = a^{rs}
>は指数の公式なので認められているのではないのですか？

何を認めて，何を導き出すかという「順序」が問題なのです．
順番に追いかけます．a≠0 とします．

(1) 自然数に対して，指数法則を示す
(2) (1)を拡張して，整数全体で指数法則が成り立つように
a^0=1，a^{-1} = 1/aと「定めます」
(3) 正の有理数で指数法則が成り立つように
a^{m/n} = 「a^nのm乗根のうちの正のもの」と定めます
(4) (2)を考慮して，負の有理数で指数法則が成り立つようにするならば
a^{-m/n} = 1/a^{m/n} と「定めるしかない」．
(5) 任意の実数rに対して，指数法則が成り立つように
a^r を定める（本質的にはrが無理数であるケースだけ追加する）．
＃(5)のケースは結構難しい。。。実数の性質をばりばりに使うことになり
＃まじめに構築するのは大学の一年生レベルです
(6) 気合があれば複素数にも拡張できる

多少順序は変わることもありますが（例えば，負の整数に拡張する前に
正の有理数の場合の定義をしたって構わない），
おおよそこういう流れになります．
つまり「指数法則」がどんなケースでも成り立つように，
指数の定義を定めていくのです．
したがって，逆に指数法則を「どんなときでも成り立つ」と先に
認めてしまえば，a^0=1 は証明できてしまうのです．

ちなみに・・・0^0はふつうは定義しません．
0^0は指数法則とうまく噛み合わないのです．
たとえば，0^0 = 0^(1-1) =0^1 / 0^1 = 0/0
なんてなってしまいます．

「定義があって，それゆえ法則がある」というのが
まあ，分かりやすい普通のパターンなんですが，
指数法則の場合「法則が成り立つように，定義を定める」という
ケースの初等的な場合なんで，混乱を招きやすいのでしょう．
けど・・数学全体ではこういう
「法則が成り立つように定義する」のは
実はよくあります（というか・・ある程度のレベルにいくとほとんど）．
初等的なところでは，他にも
「素因数分解の一意性を保つために，1は素数としない」
という見方もあります．

補足

『正の実数ａに対して、ａ^０＝１』の定義の質問をしましたが、何が（どこが）間違っているのかわかりやすく教えて貰えませんか？上記の内容では、順番をかえれば証明はできるというふうに捉える事ができるのですが…。それだと、定義ではなく定理になってします気がするのですが。