a^(log_a{b}) = b を証明せよ？

質問

a^(log_a{b}) = b を証明せよ？

『a^(log_a{b}) = bを証明せよ』
という問題を知人に聞かれたのですが…

私には、どうも定義が書かれているとしか思えません。

みなさんはどのように解釈されますか？

回答No.3

Ginzang · ベストアンサー

確かに、仰る通り高校の数学IIの教科書には
「 x = log_a {b} ⇔ a^x = b 」
で対数が定義されている（確か・・・）のだから、質問者の意見はごもっともである。
それは、質問者や私のように慣れた人間には、「定義より自明」としてしまえることなのである。

とは言え、不慣れな内はこの定義を、「 a^(log_a{b}) = b 」と言い換えることが難しいのも事実（・・・と、初学者に対しては想定するべきことのようだ）。
それで、そのような「証明問題」が出題される余地が生まれる・・・ということなのだろう。

ここより後は、全くの余談である。
対数関数の定義方法は一つではない。大雑把に言うが、
「 1/x を、1からxまで積分して得られる関数」
「微分方程式 dy/dx = y (初期条件は、 x = 0 のとき y = 1 )の解の逆関数」
などとしても、log(x) = log_e{x} の定義は可能である（そして、log_a{b} = log(b) / log(a) などと定義する）。むしろ、大学の数学（解析学）の教科書の中はこうした定義を採用しているものもある。
これらの定義からは、「 a^(log_a{b}) = b 」を明らかなこととは言いにくいだろう。

お礼

なるほど、確かに、定義が書かれていない以上、
何を証明すればよいのか不明瞭ですね。

“先入観の議論はよくない”
身にしみました。

回答No.2

m234023b

左辺の自然対数をとると，ln a^(log_a{b})=log_a{b}ln a=(ln b/ln a)*ln a=ln b
右辺の自然対数をとると，ln b

よって，左辺＝右辺

ゆえに，a^(log_a{b}) = b

お礼

回答頂きありがとうございます。

おそらく、そのような解答が求められているとは思うのですが…
どうもひっかかるのです。

２乗して-1になる数をiという記号で表す。
このとき，
i^2=-1
を証明せよ。

aを乗算してbになる数をlog_a{b}という記号で表す。
このとき，
a^(log_a{b})=b
を証明せよ。

この両者には違いがありますか？
前者は問題にならないのに対して，後者は問題になるのでしょうか？

回答No.1

Tacosan

あなたは「何の定義」が書かれていると思ったのですか?

お礼

早速の回答ありがとうございます。

私は、logの定義が書かれてあると思うのですが…。
log_a{b} という数はそもそも、aを何乗するとbになるのか、
その数を表す記号ですよね？

ゆえに、bをlog_a{b}乗すればbです。
これは定義そのものではないのでしょうか？