a^0=a^(1-1)=a^1*a^(-1)=a*(1/a)=1の証明の間違っていますが、どこ(何が)間違っているか、わかりやすく説明して下さい。

質問

「aの0乗=1」は定義なので証明できませんが、上記のように証明する事ができないのは、どこが間違っているからですか？

回答No.7

ka1234

こんにちは。
指数法則の論理構造を申し上げます。細部は教科書をご覧下さい。

指数法則　「a＞0 の時、a^r×a^s ＝ a^{r+s}　が成り立つ」について、
r, s が整数の場合に指数法則が成り立つようにしたいとき、
(1) まず r＞0, s＞0 の場合
(2) 次に r＞0, s＝0 の場合　　この時、a^0＝1 [1] というルールが必要とされる。
(3)　最後に　r＞0, s＜0 の場合　この時、a^-1＝1/a [2] というルールが必要とされる。

(1)に[1]を加えて(2)になる。(2)に[2]を加えて(3)になる。
という論理構造です。[1] と [2] は定義として組み込まれている事になります。
[1] と [2] は「そうなるように決めた」のですから、証明はできません。
(1)の定義域・・・・・・正の整数
(1)＋(2)の定義域・・・正の整数と０
(1)＋(2)＋(3)の定義域・全ての整数

＞証明のどこ間違っているか？
もし [1] を証明したいのなら、上の(1)だけを使って証明しないといけません。
しかし、dream-team さんは
＞a^(1-1)=a^1*a^(-1)
の所で、(3) を使っています(s=-1を代入している)。
(3) を使う段階では、[1] が定義として既に加えられていますから、
「(3) を使っていいなら [1] を証明する必要はない」
となるわけです。
＞a^1*a^(-1)=a*(1/a)
の所では、[2] を使っています。
「[2] を定義するということは [1] も定義してあるはず。[1] を証明する必要はない」
となります。

まとめると、「証明されていない定理を使ってしまった」ということになるでしょう。
数学的には「循環論法」といいます。（このような誤りには既に名前がついているのです）。
結果的に (3) は正しいので、「証明されていない」ということの意味が今ひとつ分かりにくいとは思いますが。

(1)(2)(3)の順番で拡張するとそうなるが、(1)(3)(2)ならばいいのではないか（どれを定義とし、どれをそれから導かれる定理とするか、という問題）と考えていらっしゃる方もおられるようですが、それでもだめだと思います。（同値な命題で、どれを出発点にしてもよい場合もありますが）

(ア)a^2＝a×a（指数が正の整数の時の定義）
(イ)a^0＝1　　（指数が０の時の定義）
(ウ)a^-2＝1/a×a（指数が負の整数の時の定義）

ということですから、(ア) と (ウ) だけを仮定した場合、指数に０を
代入する事はできません。ちょうど「分母＝０」が駄目なのと同じです。
つまり、
「今の所、指数に０を代入する事は「できない」が、
代入するとしたら「a^0=1 となるしかない」から、
(イ)のように定義しよう、ということです。
(ア)→(ウ)→(イ)の順に定義してもZ上の指数法則は拡張できますが、
(イ)を「証明した」のではなく、「定義域を０にまで拡張した」のです。
従って、(ア)と(ウ)だけを仮定した場合、a^0＝と出発した段階で、
いきなりアウトです。

補足

(2) 次に r＞0, s＝0 の場合　　この時、a^0＝1 [1] というルールが必要とされる。
とありますが、ｒ＝０でないのであれば、指数が０になる事はないので
a^0が出てくる事はないので、a^0＝1というルールは必要ないのではないですか？