電磁気学に関する問題です

質問

半径r_1（rに下付きで1、以後下付きの文字や数字の前には_をつける）[m]、誘電率ε_1[F/m]の誘電体球と、内半径r_2[m]、外半径r_3[m]の中空導体球が、ともに座標原点を中心として置かれている。誘電体球は電化密度ρ[C/m^3]で一様に帯電しており、中空導体球は帯電していないものとする。自由空間の誘電率をε_0[F/m]として、以下の問いに答えよ。

（図が書けないので補足しておきます。r_1<r_2<r_3となっており、中空導体球の中に誘電体球があるようなイメージです。）

1.中空導体球の内側及び外側表面には電荷が発生する。それぞれの面電荷密度σ_i[C/m^2]およびσ_o[C/m^2]を求めよ。

2.原点からr[m]の点における外向き電界強度E(r)[V/m]を、0<r<r_1、r_1<r<r_2、r_2<r<r_3、r_3<rのそれぞれの場合について数式で表せ。

3.次に中空導体球を抵抗R[Ω]を介して接地した。このとき、接地した瞬間から測った時刻t[s]に対して、抵抗を流れる電流i(t)[A]が
i(t)=i(0)exp(-αt) (t≧0)
となることを導け。ただしαはある定数であり、大地の電位は常に0[V]である。

導体球と誘電体球を、どのように同時に考えたらいいのか分からず、
困っています。
中空導体球の中に導体球がある場合などについては、参考書で見かけたのですが…。
かなり図書館で色々な本を見てみたのですが、だいたいどの本も
誘電体と導体の話が別々に書いてあります。

中空導体球の中に誘電体球、このような場合どのように考えたらいいのでしょうか。

中空導体球と、誘電体球の相互関係はないのでしょうか。

ないのなら、中空導体球の問題1.は中空導体球だけで考え、2.は・・・

r_1<r<r_2のときは・・・

混乱してきました。

どなたか、ヒントまたは助力、お願いします。。。

回答No.5

foobar · ベストアンサー

ガウスの法則では、球面の内側にある電荷だけ、を考えます。

r<r1のとき
半径r1の誘電体球が一様に帯電しています。
ガウスの法則を適用するときには、その中の半径rの球に含まれる電荷を計算する必要があります。（Eの計算に誘電体球の全電荷Q1を使うのではありません。）

r1<r<r2のとき
半径rの球に含まれる電荷は、誘電体球の持っている電荷(Q1)だけ、です。
（Q2はr=r2の位置にあるので、この領域では含まれません。）

r2<r<r3, r3<r の領域はそれでいいと思います。

お礼

おかげさまでなんとか全問解けました！！！
複数回に渡る質問に、全て答えていただき、本当に、本当に、
ありがとうございました。
自分がどれだけ電磁気学が苦手かということが分かったので、
さらに勉強に励みたいと思います！！！
本当に、お世話になりました。
ありがとうございました！！！

補足

なんとなく分かってきました。

r<r1のとき

半径r1の誘電体球が一様に帯電しており、ガウスの法則を適用するときには、その中の半径rの球に含まれる電荷を計算する。

半径rの球に含まれる電荷は(4/3)πrρ。
なので、この電荷を4πε1r^2で割る、ということですね。

だから、E(r)=(4πrρ/3)/(4πε1r^2)=(ρr)/(3ε1)

答え、E(r)=(ρr)/(3ε1)

次に、r1<r<r2のとき

E(r)=Q1/(4πε0r^2)

Q1=4πρr1^3/3

E(r)=(4πρr1^3/3)/(4πε0r^2)=(ρr1^3)/(3ε0r^2)

答え、E(r)=(ρr1^3)/(3ε0r^2)

こういうことですね！？

結局、r1<r<r2のとき、r3<rのときは同じになるんですね。

回答No.4

foobar

2．に関して。
たとえば、中心に電荷Q0の点電荷がある場合、中心から距離rの点の電界Eは
E=Q0/(4πεr^2)
とrの関数（この場合は1/r^2に比例）になりますよね。
今回の問題でも、このように、rの関数で表されることになるかと思います。

＃１補足欄で書かれた式は、＃２補足欄で書かれているようにr1やr2などの特定の位置での電界になっているように思います。

（今回の問題のように、対称性が非常に高い（r=一定の球面上では電界の大きさが同じで電界の向きが球面に垂直）場合には、ガウスの法則を使って解くのが楽かと思います。）

お礼

すみません、お礼もありますが、どちらかというと補足です。
「この回答への補足」で、間違えたことを書いてしまった気がしたので。
まず、0<r<r1で、ガウスの法則を用いると、
(ε_1)4πr^2E=Q_1
Q_1＝4/3πr1^3ρなので、よって、E=r1^3ρ/(3ε1r^2)

r1<r<r2では、ガウスの法則より、
E=(Q1+Q2)/(4πε0r^2)
ここでQ1+Q2=0なので、E=0

r2<r<r3もE=0

r3<rはE=Q3/(4πε0r^2)
で、Q3を書き換えて計算すると、
E=ρr1^3/(3ε0r^2)

自分なりにはかなり自信あるんですが、どうですか？
もし間違っていたら、、、ちょっと自己嫌悪します。。。
ヨロシクお願いします。。。

補足

ガウスの法則を使って解いてみました！！
ほとんど同じ形になったのですが、答えは、E=ρr/(3ε_1)となりました。
補足欄#1#2で書いた式の、r_1ではなく、rになったバージョンです。
このような考え方ということですか？

回答No.3

foobar

若干補足
この問題を考えるときには、
誘電体球の全電荷をQ1(Q1=4/3πr1^3ρ)、金属球内面の全電荷をQ2,外面の全電荷をQ3とおいて、進めるのが楽かもしれません。（もちろん、最後の式では、Q1,Q2,Q3を使わずに、ρなどで表しなおす必要はあります。）

たとえば、1.の問題は、Q1+Q2=0 (導体内の電界は0より),Q2+Q3=0(導体の全電荷は0)と表すことができて、これから、Q2,Q3が求まって、、という具合に進めることができます。

3．に関して、
導体球に抵抗Rを通して電荷がq流れ込んだときの導体球の電位Vを求めて、そのときの電荷の変化率dq/dt=iを求めれば、1階の微分方程式になって、問題が解けるように思います。

補足

3.については、まだ2.が解けていないので考えていないのが現状です。
申し訳ございません。
Q1、Q2、Q3と置くやり方は非常に参考になり、分かりやすいものになりました。

ありがとうございました。

ただ、2.の問題、まだちょっと・・・

下のNo.2で書いた質問に、もしよろしければ回答よろしくお願いします。

回答No.2

foobar

1,2はガウスの法則を適用して解くことになるかと思います。

1. は良さそうに思います。

2．に関して、
球体の電荷に対して、それぞれの領域でEがrに関わらず一定になっている、というのは変ではないでしょうか。(たとえば、r>r3でE=constというのは変ですよね？)
また、2．の結果の式では設問で未知の変数とされているσi,σoは使わずに、既知の変数ρを使うべきかと思います。

補足

No.2及びNo.3で教えていただいたこと、ありがとうございます。
返事遅くなりすみませんでした。
ただ、2.に関してまだ理解できていない部分が。

自分が求めたものというのは、たとえば0<r<r1で書いた答え、E=(ρr_1)/(3ε_1)、は、r=r_1の答えであり、0<r<r1の答えではないのか
ということに気付きました。

ということは、上の式を＝ではなく「＞」とか「＜」とかで表すのか
なと思いました。

・・・いや、まだなんかよく分かっていません。

とりあえず、Q1、Q2、Q3と置くというやり方は、ものすごく参考になり、分かりやすいものとなりました。

1.に関しては、理解しました。

回答No.1

foobar

1．導体球の部分(r_2<r<r_3)は等電位なので、この部分では電界強度は0
というのを使うと、導体球内面の電荷、および外面の電荷が算出できると思います。

2．電荷分布が決定できれば、各部の電界強度は計算できると思います。
電界が計算できれば、導体球の電位が計算できて、

3．でRに流れる電流(電荷の移動）、電荷の移動に伴う電位変化が計算できれば、

すべてが算出できることになるかと思います。

補足

とりあえず、自分なりに解いてみました。
どうも電磁気学が苦手なので、あまり自信はないのですが、以下のwebサイトと持っている参考書をもとに解きました。

http://www.geocities.jp/shimizu2669/question4.html

まず1.についてです。webサイトの、主に問題3.を参考にしました。今回の問題では、中空導体球には帯電していません。よって、wevサイトのQ=0としました。そして、webサイトの点電荷qに関しては、今回の問題では(4/3)π(r_1)^3×ρに対応するのではないかと考えました。すなわち、(4/3)π(r_1)^3×ρ＋4π((r_2)^2)σ_i=0、σ_i=-((ρ(r_1)^3)/(3(r_2)^2)、そして、4π((r_2)^2)σ_i+4π((r_3)^2)σ_o=0、σ_o=(ρ(r_1)^3)/(3(r_3)^2)。

2.については、0<r<r_1でE=(ρr_1)/(3ε_1)、r_1<r<r_2でE=(σ_i)/(ε_0)、r_2<r<r_3でE=0、r_3<rでE=(σ_0)/(ε_0)となりました。

2.について質問です。符号は、やはり負も考えなければならないでしょか？

また、間違えているところがありましたら、指摘をお願いします。

見難い式になっていて大変申し訳ないのですが、解答がなく、どうしても
解きたい問題なんで、、、

本当によろしくお願いします。

3.については、今から考えてみます。。。

とりあえず、2.までで。。。