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電磁気学の問題について
導体球関連の質問です。 以下のホームページの演習問題8-1の解答についてなのですが、 http://www.wakayama-u.ac.jp/~nitanai/pbe/pbe2008-08-1a.pdf ここで示された解答のように、十分離れた二つの帯電した導体球を細い導線で結んだとき、二つの導体球の表面が等電位になるから、それを利用して各球の表面電荷密度を求める、という流れは理解できるのです。 ですが、直感的には二つの導体を結んだ際には二つの球の表面電荷密度が等しくなるまで電荷移動が起きるような気がしてなりません。 これが導体球でなく、球内部にも電荷が分布できるものだったら二つの球の電荷密度が等しくなるまで電荷移動が起きるのだと思いますが、なぜ導体球の表面ではそれがおきないのでしょうか？電位が等しいという縛りがあるから当然なのかもしれませんが、直感的にわかる説明をお願いいたします。よろしくお願いします。
- ramusi
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- aokisika
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電位が異なると電荷が動いて電位が等しくなります。 この時の電荷密度ですが、雷はなぜ高い木に落ちるかというと、高い木の尖った部分（曲率半径の小さい部分）に電荷密度が高くなるからです。 導体球に帯電させると、電荷は電荷同士の反発力により、球体の表面に一様に分布します。 ところで、直径１ｍの球の表面にコンパスで半径５ｃｍの円を描くと、その面積は平面状の半径５ｃｍの円より小さくなります。ですから平面と球面に同じ密度で電荷が分布していると、半径５ｃｍの円内にある電荷の総量は球面の方が少なくなります。同じ距離の中にある電荷が少ないので、同じ距離内の電荷同士の反発力も球面上の方が小さくなります。 つまり、電荷同士の反発力を平面状の電荷と等しい大きさにするためには、より多くの電荷を必要とします。つまり電荷密度を高くする必要があります。 直径５０ｃｍの球体に半径５ｃｍの円を描くと、その面積はさらに小さくなりますから、同じ距離内の電荷の総量もさらに小さくなり、電荷の反発力もさらに小さくなります。電荷同士の反発力を平面状の電荷の場合と等しくするためには、さらに多くの電荷を帯電させて電荷密度を高くする必要があります。 ではこの直径１ｍの導体球と直径５０ｃｍの胴体球を導線で結ぶとどうなるでしょうか？ 電荷密度が等しい場合には大きな球体の方が電荷同士の反発力が大きいので、大きい球体の中にある電荷は小さい球体に移動し、電荷同士の反発力が等しくなるところで移動が止まります。 電荷を動かす力が電位差ですから、電荷同士の反発力が等しくなって電荷の移動が止まったということは、電位が一定になったということです。 つまり、電位が一定になったときには電荷密度は小さな球体の方が大きくなるわけです。
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編入試験の過去問のため、解答がありません。 1. 半径aの球があり、その内部は電荷密度ρで一様に帯電している。 球の中心からの距離がｒの位置での静電ポテンシャルをｒ＜aとr＞aの場合について、それぞれ求 めよ。ただし、無限遠点での静電ポテンシャルを0とする。 よくみかける問題のようで少し違います。ｒ＜aとr＞aの場合とあるため、積分区間がわかりませ ん。よくみかける問題はｒ≦aで、内部の電場をr→aで+外部の電場をa→無限で積分しますよ ね？というわけで、区間が分からないです。 2. 半径aの薄い円筒状の導体が接地しておかれている。いま、円筒の中心軸上に細い導線を張り、 線密度ρの静電荷を与えた。円筒および導線は無限に長いものとする。 1)導線が円筒内につくる電場の向きを答えよ。また、その大きさを中心軸からの距離rの関数とし て求めよ。 2)円筒上には面密度σの負電荷が一様に誘導される。σを求めよ。 3)円筒内を電位φを求めよ。 上記の問題は接地という言葉があり、調べてもよくわかりませんでしたので、よければ、接地に対 しての考え方も教えてください。2)はシンプルでもかまいません。1)、2)はなるべく細かく教えてくだ さい。 ※ 1．2．両方とも電位はただ載せるだけではなく求め方(積分区間等）も教えてください。 以上です。独学ですので、易しい回答をお願いします
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半径r_1（rに下付きで1、以後下付きの文字や数字の前には_をつける）[m]、誘電率ε_1[F/m]の誘電体球と、内半径r_2[m]、外半径r_3[m]の中空導体球が、ともに座標原点を中心として置かれている。誘電体球は電化密度ρ[C/m^3]で一様に帯電しており、中空導体球は帯電していないものとする。自由空間の誘電率をε_0[F/m]として、以下の問いに答えよ。 （図が書けないので補足しておきます。r_1<r_2<r_3となっており、中空導体球の中に誘電体球があるようなイメージです。） 1.中空導体球の内側及び外側表面には電荷が発生する。それぞれの面電荷密度σ_i[C/m^2]およびσ_o[C/m^2]を求めよ。 2.原点からr[m]の点における外向き電界強度E(r)[V/m]を、0<r<r_1、r_1<r<r_2、r_2<r<r_3、r_3<rのそれぞれの場合について数式で表せ。 3.次に中空導体球を抵抗R[Ω]を介して接地した。このとき、接地した瞬間から測った時刻t[s]に対して、抵抗を流れる電流i(t)[A]が i(t)=i(0)exp(-αt) (t≧0) となることを導け。ただしαはある定数であり、大地の電位は常に0[V]である。 導体球と誘電体球を、どのように同時に考えたらいいのか分からず、 困っています。 中空導体球の中に導体球がある場合などについては、参考書で見かけたのですが…。 かなり図書館で色々な本を見てみたのですが、だいたいどの本も 誘電体と導体の話が別々に書いてあります。 中空導体球の中に誘電体球、このような場合どのように考えたらいいのでしょうか。 中空導体球と、誘電体球の相互関係はないのでしょうか。 ないのなら、中空導体球の問題1.は中空導体球だけで考え、2.は・・・ r_1<r<r_2のときは・・・ 混乱してきました。 どなたか、ヒントまたは助力、お願いします。。。
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- 物理学
質問者からのお礼
なるほど！ 曲率による影響なんですね。 曲率ついては曖昧に理解していましたがaokisikaさんの説明をじっくり読んでよくわかりました。 球面をデカルト平面的に考えてしまっていたところに矛盾があったわけですね。すっきりしました。 本当に丁寧に教えてくださってありがとうございました！